将(518)式代入(515)式,得到电子相应于波函数vAm)的能量为 E(k)= (5.20) 2m 以动量算符户=hv作用于vm (r)=Mv4(r) (521) 即v/m同时也是动量算符P的本征态,这时,电子有确定的动量: P=hk 相应的速度为 P hk (523) 由此,电子能量的表达式(520)可以再现熟悉的经典形式 E=hk2 (524) 2n.2m 波矢k的取值要由边界条件决定。边界条件的 选取,一方面要反映电子被局限在一个有限大小的 波函数示意 体积中;另一方面,由此可合理地得到金属的性质。 常见边界条件的选取有: 1、固定边界条件 y(0,0,0)=0,y(L,L,L)=0(5.25) 相应的波函数(5.18)式改写为 W(r)= sin(k-r)sin(k- y)sin(k=)(5.26) 由边界条件(525):v(0)=v(L)=0,得 图53自由电子波函数和能级示意图 n.(5.27) 能量单位是b 2m.2L 电子的能量E: +n+n2) (5.28) mL 电子波函数W)的示意图见图53。电子波函数的这种形式不利于处理电子在金属λ 2π k = （5.19） 将（5.18）式代入（5.15）式，得到电子相应于波函数ψk(r)的能量为 me k kE 2 )( 22 h = （5.20） 以动量算符 ∇= i P h ˆ 作用于ψk(r)： )()( i rkr ψ k h ψ k h =∇ （5.21） 即ψk(r)同时也是动量算符 Pˆ 的本征态，这时，电子有确定的动量： = hkP （5.22） 相应的速度为： mee k m P v h == （5.23） 由此，电子能量的表达式（5.20）可以再现熟悉的经典形式： 2 222 2 1 22 vm m P m k E e e e === h （5.24） 波矢 k 的取值要由边界条件决定。边界条件的 选取，一方面要反映电子被局限在一个有限大小的 体积中；另一方面，由此可合理地得到金属的性质。 常见边界条件的选取有： 1、固定边界条件 Ψ（0，0，0）= 0，Ψ（L，L，L）= 0 （5.25） 相应的波函数（5.18）式改写为 V r k 1 ψ )( = sin(kxx) sin(kyy) sin(kzz) （5.26） 由边界条件（ 图 5.3 自由电子波函数和能级示意图， 5.25）：ψk(0) =ψk(L) = 0，得 x nx L k 2π = ； y ny L k 2π = ； z nz L k 2π = （5.27） 能量单位是 2 2 2 1 2 ) L ( me h 电子的能量 E： ( ) 2 222 2 22 zyx e nnn Lm E = ++ h π (5.28) 电子波函数ψk(r)的示意图见图 5.3。电子波函数的这种形式不利于处理电子在金属 7