第十四章格林函数偏微分方程解的积分表示 解偏微分方程主要有两种方法 A:数理方法中的分离变量法:正交的多项式或无穷级数解,但需要齐次边界条件 B:理论物理中的 Green函数方法:既是简单的有理形式解,又允许任意的边界条件 1, Green函数(GF)的意义:物理上:点源产生的场(函数)在时空中的分布。特 别是它在空间是源函数;在时空是传播函数。( See below) 数学上:具有点源的偏微分方程在齐次边界条件或者无界区域、初值条件下的解 2,GF的分类:边界值GF:GG,F)即源函数;初始值GF:G(r,r;F,t)即传播函数 3, Green函数的性质: 1)对称性:GG,F)=GG’,f),它与定解问题相关,即与厄米性相关。(See4 below) 2)时间传播函数没有对称性:GG,t,F',t)≠G(F',t;,1).(因果律引起) 3)存在的必要条件:设方程(v2+4)G(G,F)=-6(F-P),若λ是对应齐次方程 的本征值,即V2q=-和附加齐次边界条件,则GG,F)不存在。这是因为既有 点源:(-)矛盾于又无流:品G=0.本征值问题存在,但是没有激发,物理 上自相矛盾!平面波Ae(x),球面波Are()和柱面波Ao2e(所m均是 Laplace Equation的解,但不是 Possion Equation的解。球、柱面波分别来自于x>1时(散 射问题)渐近行为:Hm23(x)-层4m1m,h42(x)-e1x 4, Green函数的边值条件 选取边值条件具有人为性,但要求简单并保证算子的厄米性 1)齐次边值条件:(a+BG)k=0矛盾于上述33),详见下面1412末。 2)有解性(解收敛):GL,=0-基本解 5, Green函数的用途:偏微分方程的积分解法:1)求G(F,P),2)利用迭加原理给 出物理问题u(F)的积分形式解; Green函数的奇点与元激发的能量和寿命有关。 6, Green函数的求法: l)特殊方法:V2G=-6(F-P)→G=1/|-F 2)本征函数展开法:相应算子在同一边界下的本征函数作为基矢。 3)方程齐次化方法:将非齐次项变成边值条件和初值条件 4)积分变换法: Laplace Transforms, Fourier transform 5)形式解:算子运算。1 第十四章 格林函数--偏微分方程解的积分表示 解偏微分方程主要有两种方法： A: 数理方法中的分离变量法：正交的多项式或无穷级数解，但需要齐次边界条件。 B: 理论物理中的 Green 函数方法：既是简单的有理形式解，又允许任意的边界条件！ 1，Green 函数（GF）的意义：物理上：点源产生的场（函数）在时空中的分布。特 别是它在空间是源函数；在时空是传播函数。(See below) 数学上: 具有点源的偏微分方程在齐次边界条件或者无界区域、初值条件下的解。 2，GF 的分类：边界值 GF：G r r ( , ') 即源函数；初始值 GF：G r t r t ( , ; ', ') 即传播函数。 3，Green 函数的性质： 1）对称性： G r r G r r ( , ') ( ', )  ，它与定解问题相关，即与厄米性相关。(See 4 below) 2）时间传播函数没有对称性： G r t r t G r t r t ( , ; ', ') ( ', '; , )  .（因果律引起） 3）存在的必要条件：设方程 2 ( ) ( , ') ( ')        G r r r r ，若λ是对应齐次方程 的本征值，即 2      和附加齐次边界条件，则 G r r ( , ') 不存在。这是因为既有 点源：( ') r r  矛盾于又无流： | 0.   n G   本征值问题存在，但是没有激发，物理 上自相矛盾！平面波 ( ) , ik x at Ae 球面波 1 ( ) ik x at Ar e  和柱面波 1/2 ( ) ik at A e    均是 Laplace Equation 的解，但不是 Possion Equation 的解。球、柱面波分别来自于 x 1 时（散 射问题）渐近行为： (1,2) [ ( 1/2) /2] (1,2) [ ( 1) /2] 2 1 ( ) , ( ) . i x m i x l H x e h x e m l x x          4，Green 函数的边值条件： 选取边值条件具有人为性，但要求简单并保证算子的厄米性。 1）齐次边值条件：( ) | 0 G G n        矛盾于上述 3,3)，详见下面 14.1.2 末。 2）有解性（解收敛）： | 0 G r  --基本解。 5，Green 函数的用途：偏微分方程的积分解法：1）求 G r r ( , '), 2）利用迭加原理给 出物理问题 u r( ) 的积分形式解；Green 函数的奇点与元激发的能量和寿命有关 。 6，Green 函数的求法： 1) 特殊方法： 2        G r r G r r  ( ') 1/ | '|. 无界 2）本征函数展开法：相应算子在同一边界下的本征函数作为基矢。 3）方程齐次化方法：将非齐次项变成边值条件和初值条件。 4）积分变换法：Laplace Transforms，Fourier Transforms. 5) 形式解：算子运算