14 I Green函数与偏微分方程 1,定义:Gren函数(源函数,影响函数,传播函数,传播子 数学上,含点源的偏微分方程在一定的边界条件或者初始条件下的解; 物理上,点源在一定物理条件下产生的场。这种解(场)在时空中的分布与传播。 例1,无界空间 Possion Equation: ∫vn=-4x),viG(,)=-4z(7-F, lul=0 IGl=0 无界 3GG, 7)=,u()= Gr, ,)p(r )dr 基本解--无界空间 Green函数的叠加( see below for the solution) 例2,无界空间 Helmholtz Equation: (v2+m=4x()2(2+G(,F)=-4x(F-F ∫GF,P)p(Fd (see below for the solution. G(, F ): Field; P(r ): Source) 例3,无界空间波动方程 V2|u=D(F,1),ul=0,ul=0u1=0 t t av2lo(,r;:)F-)(-)G=0G|=0Gl=0 在含时Gren函数G(r,t;r,t)中,为方便计,我们将它简记为G(F,F) 2, Helmholtz Equation and Laplace Equation解的积分形式(在定解问题中求G) (V2+A)a=-4x().---(1) (aun+B)l=f(,---(2) 设定解问题:对应于(V2+G(F,F)=-4D(-P)--(3) (aGn+BG)l=0(齐次边界条件)--(4) 假设GF,F)已经求出,方法见143作算符运算:[GG,P)Eq()-u)Eq(3)得 ∫[G(,Pvv(F)-n(FvG(7,P)=-x[G(,P)p()=u()5(7,F 对上式左边利用Gas公式vF=乐F,其中F=GuVG,可得如下的 Gren恒等式:∮。[G()v0F)-av)vG(,)=手(un-G,x Se童裕孙等,高等数学下册,2版,PP154-156&PP161-162 故有形式解u(F)=G(,)p()dxx4z G(r, r) aG(r, r)2 14.1 Green 函数与偏微分方程 1，定义：Green 函数(源函数，影响函数，传播函数，传播子) 数学上，含点源的偏微分方程在一定的边界条件或者初始条件下的解； 物理上，点源在一定物理条件下产生的场。这种解（场）在时空中的分布与传播。 例1， 无界空间 Possion Equation: 2 2 4 ( ), ( , ') 4 ( '), | 0. | 0. 1 ( , ') = , ( ) ( , ') ( ')d '. | ' | u r G r r r r u G G r r u r G r r r r r r                          无界 基本解---无界空间 Green 函数的叠加（see below for the solution）. 例2， 无界空间 Helmholtz Equation： 2 2 ( ) 4 ( ), ( ) ( , ') 4 ( '), | 0. | 0. ( ) ( , ') ( ')d ' (see below for the solution. ( , ') : Field; ( ') :Source). u r G r r r r u G u r G r r r r G r r r                              例 3， 无界空间波动方程: 2 2 2 2 2 2 2 2 ( , ), | 0, | 0, | 0. ( , ; ', ') ( ') ( '), | 0, | 0, | 0. t t t t t t a u r t u u u t a G r t r t r r t t G G G t                                     在含时 Green 函数 G r t r t ( , ; ', ') 中，为方便计，我们将它简记为 G r r ( , '). 2, Helmholtz Equation and Laplace Equation 解的积分形式（在定解问题中求 G ） 设定解问题: 2 2 ( ) 4 ( ), (1) ( ) | ( ), (2) ( ) ( , ') 4 ( '), (3) ( ) | 0.( (4) n n u r u u f G r r r r G G                                    对应于 齐次边界条件) 假设 G r r ( , ') 已经求出，方法见 14.3.作算符运算： [ ( , ')Eq.(1) ( )Eq.(3)]d G r r u r r    得 2 2 [ ( , ') ( ) ( ) ( , ')]d 4 [ ( , ') ( ) ( ) ( , ')]d . G r r u r u r G r r r G r r r u r r r r              对上式左边利用Gauss公式 F r F n d d , ˆ          其中 F G u u G    , , 可得如下的 Green 恒等式： 2 2 [ ( , ') ( ) ( ) ( , ')]d ( )d . G r r u r u r G r r r Gu uG n n           See 童裕孙等，高等数学下册，2 nd 版，PP154-156&PP161-162. 故有形式解 1 ( ) ( , ') ( ') ( , ') ( )d ( , ') ( ) d . 4 u r G r r u r G r r r r G r r u r n n                    （5）