在G(F,P)已知的前提下,解(5)也不是u(F)用G(G,F)表示的最后形式。这是因 为u(),un()在边界Σ上还未知(最多知道他们在Σ的线性组合一BCs)幸好 GGF,F)的边界条件还可以以多种形式提出;只要选定G的边界条件为齐次,则 l(F,Lun()或者其线性组合就可为已知的边界条件,从而最后确定u(F)例如 1)第一类边界条件:a=0.B=1,ul=f(Σ,Gk=0 OG(r) →(F)=G(F,F)p(F)dF l()-d 2)第二类边界条件:a=1,B=0,unl=f(2Gk=0 →u(F)=G(F,F)o(F)d+,中G(F,F) Ou(r) 3)第三类边界条件:(a,B)≠0, taking G. Eq(2)-Eq(4),→a(Giun-uGn)k=Gf(2) 得到vG)=[G,Gd+手oG,P/(xx ATTa s 这些形式解的前提是G要已知或者可求出。实际问题中,G可能就不存在。例如在 第二类边界条件中,4=0的问题[ Possion equation,点源存在,但边界“流”为零 -Gl=0.物理上不通(既产生又绝缘-矛盾),数学上无解]。再例如,构成本征值 问题的(V2+A)=0,(aun+Ba)k=0,不存在相对应的方程(3)和(4).这是因为 即使在边界条件完全相同的情况下,p≡0(无源)而方程(3)的源为δ(F-F).在 此情况下G无解(或适当修改 Green函数的意义),其实分离变量法已解决了问题, GF就多此一举了。GF要解决更为复杂的物理问题! 3. Green函数的物理意义 以∑为边界的区域Ω,既无论原方程是否齐次(即g内有、无源),又无论原 边界条件是否齐次(即Σ上有、无源),GF总是定义在Ω内除一点(点源)以外方程 的非齐次项处处为零(问题本身总要有非齐次项,如源于边界条件)但要化成齐次 边界条件的定解问题的解。因此GF是“点源影响函数”或者“作用的传播函数”。 对于所讨论的线性方程而言,一旦知道了相应问题的 Green函数,只要再做两个积 分,把原方程的非齐次项所反应的连续源分布对各点所产生的影响线性迭加起来, 便给出原问题的解。这是线性迭加原理的最成功应用。齐次方程的本征值问题的本 征值解可用于表示相应非齐次方程定解问题的GF(求法见最后一节)。 142 Green函数的性质 33 在 G r r ( , ') 已知的前提下，解（5）也不是 u r( ) 用 G r r ( , ') 表示的最后形式。这是因 为 ( ), ( ) n u r u r 在边界  上还未知(最多知道他们在  的线性组合—BCs). 幸好 G r r ( , ') 的边界条件还可以以多种形式提出；只要选定 G 的边界条件为齐次，则 ( ), ( ) n u r u r 或者其线性组合就可为已知的边界条件，从而最后确定 u r( ). 例如： 1）第一类边界条件：        0, 1, | ( ), | 0 u f G   1 ( ) ( ') ( , ') ( )d ( ) d . 4 G r u r G r r r r u r n             2）第二类边界条件： 1, 0, | ( ), | 0. n n        u f G   1 ( ) ( ') ( , ') ( )d ( , ') d . 4 u r u r G r r r r G r r n             3)第三类边界条件： ( , ) 0, taking Eq.(2) Eq.(4), ( ) | ( ).            G u Gu uG Gf n n  得到 1 ( ') ( , ') ( )d ( , ') ( )d . 4 u r G r r r r G r r f           这些形式解的前提是 G 要已知或者可求出。实际问题中， G 可能就不存在。例如在 第二类边界条件中，   0 的问题[Possion Equation, 点源存在，但边界“流”为零 -- | 0. Gn   物理上不通(既产生又绝缘--矛盾），数学上无解]。再例如，构成本征值 问题的 2 ( ) 0, ( ) | 0 n    u u u      ，不存在相对应的方程（3）和（4）. 这是因为 即使在边界条件完全相同的情况下，   0 （无源）而方程（3）的源为 ( '). r r  在 此情况下 G 无解（或适当修改 Green 函数的意义），其实分离变量法已解决了问题， GF 就多此一举了。GF 要解决更为复杂的物理问题！ 3. Green 函数的物理意义 以  为边界的区域  ，既无论原方程是否齐次（即  内有、无源），又无论原 边界条件是否齐次（即  上有、无源），GF 总是定义在  内除一点(点源)以外方程 的非齐次项处处为零（问题本身总要有非齐次项，如源于边界条件）但要化成齐次 边界条件的定解问题的解。因此 GF 是“点源影响函数” 或者 “作用的传播函数”。 对于所讨论的线性方程而言，一旦知道了相应问题的 Green 函数，只要再做两个积 分，把原方程的非齐次项所反应的连续源分布对各点所产生的影响线性迭加起来， 便给出原问题的解。这是线性迭加原理的最成功应用。齐次方程的本征值问题的本 征值解可用于表示相应非齐次方程定解问题的 GF(求法见最后一节)。 14.2 Green 函数的性质