现在将微分运算d推广到∧上去。对∧中的任意一个k-形式 ∑g1,(x)dxA 定义 1=∑(dg14-4(x)入dx4Ad2A…Adx <…<i1≤n ∑∑ 08 dx.a dx adx2A…^心w Isi<2<<,Sn i=l a x 同时,对空间A=A0+A+…+A上的任意一个元素 On,O,∈A 定义 dO=d+don+…+dono 这样的微分运算d称为外微分。现在将微分运算d 推广到Λk 上去。对 k Λ 中的任意一个 k-形式 1 2 1 2 1 2 ,,, 1 ( )d d d k k k ii i i i i ii i n ω g xx x x ≤< < < ≤ = ∧ ∑ " ∧ ∧ " " ， 定义 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ,,, 1 ,,, 1 1 d (d ( )) dd d dd d d k k k k k k ii i i i i ii i n n ii i ii i i i i i ni i g x xx x g xx x x x ω ≤< < < ≤ ≤< < < ≤ = = ∧ ∧ ∧ ∧ ∂ = ∧ ∧ ∧ ∧ ∂ ∑ ∑ ∑ " " " " " " 。 同时，对空间Λ = Λ + Λ + +Λ 0 1 " n 上的任意一个元素 i 10 " , ωωωωω in Λ∈+++= ， 定义 0 1 dd d d ω = ωω ω + ++ " n。 这样的微分运算d 称为外微分