第四讲(一) Cauchy积分公式 第1页 第四讲(一) Cauchy积分公式 §4.1 Cauchy积分公式 有界区域的 Cauchy积分公式设f(z)是区域G中的 单值解析函数,G的边界C是分段光滑曲线,a为G内一 G 点,则 1f(z) a (a) ni c z-a2, 其中积分路线沿C的正向 证在G内作圆z-a|<r(见图4.1,保持圆周|z-a|=r 在G内),则根据复连通区域的 Cauchy定理,有 ∮ f(z) c2-aaz= f(z) z-al=r 2-a 图4.1有界区域的 Cauchy积分公式 此结果应与r的大小无关,故可令r→0.因为 lim(z-a) f() =f(a) 2-a 由引理3.1,就证得 1f(2)dz=f(a) 2-iJcz-aWu Chong-shi ￾✁✂ (✄) Cauchy ☎✆✝✞ ✟ 1 ✠ ✡ ☛☞ (✌) Cauchy ✍✎✏✑ §4.1 Cauchy ✒✓✔✕ ✖✗✘✙✚ Cauchy ✛✜✢✣ ✤ f(z) ✥✦✧ G ★✩ ✪✫✬✭✮✯✰ G ✩✱✲ C ✥✳✴✵✶ ✷✸✰ a ✹ G ✺✻ ✼✰✽ f(a) = 1 2π i I C f(z) z − a dz, ✾ ★✿✳❀✸❁ C ✩❂ ❃❄ ❅ ❆ G ✺ ❇ ❈ |z−a| < r(❉❊ 4.1 ✰❋● ❈❍ |z−a| = r ❆ G ✺) ✰✽■❏❑▲▼✦✧✩ Cauchy ◆❖✰P I C f(z) z − a dz = I |z−a|=r f(z) z − a dz, ◗ 4.1 ❘❙❚❯❱ Cauchy ❲❳❨❩ ❬❭❪❫❴ r ✩❵❛❜❝✰❞❡❢ r → 0 ❄❣✹ limz→a (z − a) f(z) z − a = f(a), ❤✐❖ 3.1 ✰❥❦❧ 1 2π i I C f(z) z − a dz = f(a).