二、线性分组码的严格数学定义3 3.定理3 [n,k]线性分组码是GF(q)上的n维线性空间n中的一个k维子空间。 证：设C是由监督矩阵H定义的[n,k]线性码。 1.先证C为子空间。 (1)C是阿贝尔群（定理2）； (2)Va∈GF(q),ceCH:ac∈CH; (3)分配律：c,c2∈CH,Ha,beGF(q):a(c+c2)=ac+ac2且(a+b)c1=ac,+bc1; (4)结合律成立：a,a2∈GF(q),ceCH:(aa2)c=a1(a2c. 2.再证维数为k 设c∈CH,则HcT=OT.c与H的每一行矢量正交，故c在由H的行矢量张成的n-k维线 性子空间Vnn-k的零空间中（第2章定理17，定理2.6.9），CH中每个码字和H张成的子 空间的矢量正交，所以C1为H张成的子空间的零空间（第2章定理16，定理2.6.8），维 数为k(第2章定理18，定理2.6.10)。二、线性分组码的严格数学定义3 3. 定理3 [n,k]线性分组码是GF(q)上的n维线性空间Vn中的一个k维子空间。 证：设CH是由监督矩阵H定义的[n,k]线性码。 1.先证CH为子空间。 (1)CH是阿贝尔群(定理2); (2)aGF(q),cCH: a c CH; (3) 分配律: c1 , c2 CH, a,bGF(q): a (c1+c2 )=ac1+ac2且(a+b)c1=ac1+bc1 ; (4) 结合律成立: a1 , a2 GF(q), cCH: (a1a2 )c=a1 (a2c). 2.再证维数为k 设cCH, 则Hc T=0 T. c与H的每一行矢量正交, 故c在由H的行矢量张成的n-k维线 性子空间Vn,n-k的零空间中(第2章定理17, 定理2.6.9), CH中每个码字和H张成的子 空间的矢量正交, 所以CH为H张成的子空间的零空间(第2章定理16, 定理2.6.8), 维 数为k (第2章定理18, 定理2.6.10)