4(24分) (a)nr=A的零化空间的维数=A的0特征值的重数,因此r=2 (b)det(a' a)=det(a )det(a)=det(a)det(A) 而det(4)=0*1*2=0,因此det(AA)=0 (c)如果将Ⅰ加到一个矩阵上,则它的特征值都增加1;因此,A+Ⅰ的特征 值是1,2,3,并且det(A+D)=1***3=6 (d)如果A有特征值λ,则A-1有特征值1/λ.因此(A+)-1的特征值 是1/1,/2,1/34 ✞ 24 ✟✡✠ (a) n-r=A ✑✎✓✎✔✖✕✎✗✙✑✎❘✎❙ =A ✑ 0 ❖✎P✎❚✎✑✎❯✎❙☛❄❃✙◗ r=2 ☞ (b) det(AT A) = det(AT )det(A) = det(A)det(A) ☛ ✿ det(A) = 0 ∗ 1 ∗ 2 = 0 ☛❄❃✙◗ det(AT A)=0 ☞ (c) ❱✎❲✎❳ I ❨✎❩ ✬✎✭✎❬✖❭✙❪☛✲❫✎❆ ✑✎❖✎P✎❚✎❉✎❴✎❨ 1; ❃✙◗✎☛ A+I ✑✎❖✎P ❚✎❵ 1 ☛ 2 ☛ 3, ❛✎❜ det(A + I) = 1 ∗ ∗ ∗ 3 = 6 ☞ (d) ❱✎❲ A ❝✎❖✎P✎❚ λ ☛✲❫ A−1 ❝✎❖✎P✎❚ 1/λ. ❃✙◗ (A + I) −1 ✑✎❖✎P✎❚ ❵ 1/1,1/2,1/3 ☞ 3