2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 推论3;若(x)在[a,b]上有界,则对[a,b]上的任意两点x,x存在 常数L>0,使得 f(x2)-f(x1)≤Lx2-x1 其中L称为利普希茨常数。(若进一步有0<L<1,则这样的y=f(x)满足压缩映 象原理。压缩映象原理不属于本课程要求的内容) 推论4;若∨x∈(a,b),∫(x)≥0,则y=f(x)在 (a,b)上单谓(非严格)增加,且f(x)>0时y=f(x)严格单调 增加而当∫(x)≤O时(或∫(x)<0),y=f(x)非严格或严格) 单调减少。 注4:拉格朗日中值定理的两个常用重要功能是: )由y=f(x)在某x1处的取值或性态,可推知x1近旁处f(x) 的取值或性态,像是一条“链锁”,对满足定理条件的f(x)在[a,b]区间上 有某种全局控制作用。 (2)拉格朗日中值定理在y f(x)的函数取值(或增量)与其导数取 值之间搭起了一座桥梁。 定理44柯西中值定理(ac)如果∫(x)和g(x)满足:(在闭区间 a,b]上连;()在开区间(a1,b)内可导,且 g(b)≠g(a),g(x)≠0,则在开区间(ab)内至少存在一点占, 使得 f(b)-f(a)f(2) g(b)-g(a)g'() 4.3徵分学基本定理的几何意义 微分学几个基本定理有誉明显的几何意义,了解这些几何意义,将有助于我们 建立必要的直观感性认识。 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 6-清华大学理科楼1101电话:627817852005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 推论 3：若 f ′(x) 在 上有界，则对 上的任意两点 存在 常数 ，使得 [a,b] [a,b] 1 2 x , x L > 0 2 1 2 1 f (x ) − f (x ) ≤ L x − x 其中 L 称为利普希茨常数。（若进一步有0 < L < 1，则这样的 y = f (x)满足压缩映 象原理。压缩映象原理不属于本课程要求的内容） 推 论 4 ： 若 ∀x ∈(a,b) ， f ′(x) ≥ 0 ， 则 y = f (x) 在 (a,b)上单调(非严格)增加，且 f ′(x) > 0时 y = f (x)严格单调 增加。而当 f ′(x) ≤ 0时(或 f ′(x) < 0 )， y = f (x)非严格(或严格) 单调减少。 注 4：拉格朗日中值定理的两个常用重要功能是： (1) 由 y = f (x)在某 处的取值或性态，可推知 近旁处 1x 1x f (x) 的取值或性态，像是一条“链锁”，对满足定理条件的 f (x)在 区间上 有某种全局控制作用。 [a,b] (2) 拉格朗日中值定理在 y = f (x) 的函数取值（或增量）与其导数取 值之间搭起了一座桥梁。 定理 4.4 柯西中值定理(Cauchy) 如果 f (x)和 g(x) 满足：(1)在闭区间 [a,b] 上 连续；(2) 在 开区间 (a,b) 内 可 导 ， 且 g(b) ≠ g(a), g ′(x) ≠ 0，则在开区间(a,b)内至少存在一点ξ ， 使得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ξ ξ g f g b g a f b f a ′ ′ = − − 4.3 微分学基本定理的几何意义 微分学几个基本定理有着明显的几何意义，了解这些几何意义，将有助于我们 建立必要的直观感性认识。 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 6 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785