2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 读者可以进一步思考,∫(x)满足什么条件时,罗尔定理与拉格朗日定理中 的S点具有唯一性?又满足什么条件时有两个不同的1与52 例42设mn为自然数,f(x)=x"(1-x)”,则∫(x)在(0 内零点个数为(B)。 【解】正确选项为(B)。 由罗尔定理,f(0)=f(1)=0,因此至少存在一点 2∈(0,1)使f(5)=0,又 f'(x)=mx"(1-x)"-nx"(1-x)" n-mmx-nx 令f(x)=0,当x∈(O,1)时, m(1-x)”≠0,得x0 m+n 为唯一驻点,即 5=x0为f(x)的唯零点 例43设∫(x)是周期为1的周期函数,在[O,1内可导,且 = M=my(),要得在5(.2) 使得 f()≥2M 【证】首先,因∫(x)是周期为1的周期函数,则只须证明 50∈(0,1)使得f(50)2≥2M.用Lw中值定理) 由∫(x)在[0,1]内可导,则必在[0,1]内连续,又因 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 7-清华大学理科楼1101电话:627817852005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 读者可以进一步思考， f (x)满足什么条件时，罗尔定理与拉格朗日定理中 的ξ 点具有唯一性？又满足什么条件时有两个不同的ξ1与ξ 2？ 例 4.2 设m,n 为自然数， ，则 m n f (x) = x (1− x) f ′(x) 在(0,1) 内零点个数为 ( B )。 (A) 0。 (B) 1。 (C) 2。 (D) 3。 【解】正确选项为(B)。 由罗尔定理， f (0) = f (1) = 0 ，因此至少存在一点 ξ ∈(0,1) 使 f ′(ξ ) = 0，又 1 1 ( ) (1 ) (1 ) − − ′ = − − − m n m n f x mx x nx x (1 ) ( ) 1 1 x x m mx nx m n = − − − − − 。 令 f ′(x) = 0，当 x ∈(0,1)时， (1 ) 0 1 1 − ≠ m− n− x x ，得 (0,1) 0 ∈ + = m n m x 为唯一驻点，即 0 ξ = x 为 f ′(x) 的唯一零点。 例 4.3 设 f (x) 是周期 为 1 的周 期函数， 在 [0,1] 内可导 ， 且 f (1) = 0, 令 max ( ) [0,1] M f x x∈ = ， 试证明 存 在 ξ ∈(1, 2) ，使得 f ′(ξ ) ≥ 2M 。 【证】首先，因 f (x)是周期为 1 的周期函数，则只须证明 (0,1) ξ 0 ∈ 使得 f ′(ξ 0 ) ≥ 2M 。（用 Lagrange 中值定理） 由 f (x) 在 [0,1] 内可导，则必在 [0,1] 内连续，又因 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 7 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785