2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1 清华大学理科楼1101电话:62781785 f(1)=f(0)=0, 则只能存在x∈0使得f(xM)=M=maxf(x) x∈[O,1 (最大最小值不在端点取得) 对区间(0,xM)±M-0=f(2)(1-xM) 对区间(xM,1):0±M=f(与1)xM ∈ X ∈(x 上两式分别取绝对值后相加得到 2M=f(51)xM+f(2)1-xM),令 f(50)=maxf(51),f(2) 则有50∈(0,),此时有不等太2M≤f(50) 因此存在5=1+50∈(1,2),使得(5)≥2M 作为练习,请读者将拉格朗日中值定理的4个推论依次进行证明,这将有助于 这一重要定理的理解与应用。 例44设∫(x)在[2]上有二阶导数,且f(1)=f(2)=0 F(x)=(x-1)2f(x),证明丑x∈(1,2),使得 F"(x0)=0 思略;对F(x)应用罗尔定理 证:(方法1) F(x)=2(x-1)f(x)+(x-1)2f(x),令 有F(1)=0 由 F()=0,F(2)=f(2)=0,由罗尔定理 彐51∈(1,2),使得F(51)=0,对F(x)在上应用罗 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 8-清华大学理科楼1101电话:627817852005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 f (1) = f (0) = 0, 则只能存在 xM ∈(0,1) 使得 ( ) max ( ) [0,1] f x M f x x M ∈ = = 。 （最大最小值不在端点取得） 对区间(0, xM )： 0 ( )(1 ) M f 2 − xM ± − = ′ ξ 对区间 (xM , 1) ： 0 M f (ξ1)xM ± = ′ ， (0, xM ) ξ1 ∈ ， ( , 1) ξ 2 ∈ xM 上两式分别取绝对值后相加得到 2 ( ) ( )(1 ) M f 1 xM f 2 − xM = ′ ξ + ′ ξ ， 令 f ′(ξ 0 ) = max{ f ′(ξ 1), f ′(ξ 2 )}， 则有 (0,1) ξ 0 ∈ ，此时有不等式2 ( ) ξ 0 M ≤ f ′ ， 因此存在 1 (1, 2) ξ = + ξ 0 ∈ ，使得 f ′(ξ ) ≥ 2M . 作为练习，请读者将拉格朗日中值定理的 4 个推论依次进行证明，这将有助于 这一重要定理的理解与应用。 例 4.4 设 f (x) 在 [1,2] 上有二阶导数，且 f (1) = f (2) = 0 ， ( ) ( 1) ( ) ，证明 2 F x = x − f x (1,2) ∃x0 ∈ ，使得 F′′(x0 ) = 0。 思路：对 F′(x) 应用罗尔定理。 证：(方法 1) ， 令 则 有 ( ) 2( 1) ( ) ( 1) ( ) 2 F′ x = x − f x + x − f ′ x x =1 F′(1) = 0 ，另由 F(1) = 0, F(2) = f (2) = 0 ， 由 罗 尔 定 理 (1,2) ∃ξ1 ∈ ，使得 F′(ξ1) = 0，对 F′(x) 在[ , ] 1 1 ξ 上应用罗 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 8 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785