第87讲曲面积分计算法(1) 385 [3x2(x2+y2)-2y']dxdy= de(3rcos28-2rsin'0)r =(3cos30-2in0)dr如≈矿 2.应用 对坐标的曲面积分的概念来自物理中不可压缩的稳定流体流向曲面一侧的流量设稳 定流动的不可压缩流体(假设密度P=1)的速度场由v(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z) +R(x,y,z)k给出,∑是速度场中的一片有向曲面,函数P,Q,尺都在Σ上连续,在单位时间 内流向∑指定侧的流体的质量,即流量φ=‖P(x,y,x)dydx+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y, ≈)aray 例13设流速v=xi+yj+xk求下列情形下,流体的流量Q:(1)穿过圆锥x2+y ≤x2(0≤x≤h)的侧面,法向量朝外;(2)穿过上述圆锥的底面,法向量朝外 解(1)Q=wnds=‖ dyde+ yazd+drdy I (cosa+ycosB+zcosv)dS 其中二即圆锥的侧面,n=(cosa,cosF,cos)是∑的单位法向量,cosu<0若记F(x,y,z)= x2+y2-x2=0为上述锥面,则 ( cosa, cosB, cost) ar ay az aF aF ak dy 由此可见,流量 2)dS=0. (2)若记圆锥的底面为S0,则通过Σ的流量 xdyd+ yazd+ eddy=「(+0+Mdy)=h·mh=mh x2+2≤A2 、两类曲面积分之间的区别与联系 (1)区别:对面积的曲面积分f(x,y,z)dS的积分和f(,,)S中的△为小曲 面△S的面积,不论曲面∑的侧向如何总有△>0,对坐标的曲面积分八(xy,)dy 的积分和Σf(,,,)(△S,),中的(△S),是小曲面4S在xOy面上的投影,当曲面的侧 向改变时,(△S,),要变号,所以对面积的曲面积分与曲面的侧向无关,对坐标的曲面积分与 曲面的侧向有关 (2)联系: Pd ydz+ Qdzdx+ Eddy=‖( Pcos+aeos+kos)ds