第五章向量分析 t vi+ n(x,y, 2)= ±, 可以根据要求的侧面选取其中的符号,作为法向量正向,相应一 侧作正侧,对封闭曲面,通常选外法向为正向,此例中即 n=ro (B)如果曲面S由方程〓=f(x,y)确定,在M(x,y,f(x,y)处 其单位法向量为 n(x,y,3)=* a d*k 如果以与z轴夹角小于二的为正向,则应当v在上式中选取正号 2 例如,平面S:z=1-x-y,如果上侧为正,则上述向量的符号 k 应当取正,即 n(x,y,二)= ()如果曲面S由参数方程{y=y(n),确定 2=2(u,y 则在任意一点(,v)的单位法向量是 Ai+ Bi+ck 1×l2A2+B2+ 其中A=det a(y,=) ax,y) a(,v) du v a(,v) 这时可以根据曲面的方向适当地选取(4.3)中的的符号 有向曲面S的边界aS定向 有向曲面S的边界OS是有向曲线.其方向按左侧规定:即,当 人站在曲面的正侧(即站立方向与正侧法向量一致),沿着aS正向 前进时,曲面S总是在它的左侧 (二)面微分向量(有向面积徽元) 有向曲面S上点M(x,y,=)处的有向面积微元dS是一个向量: 其方向是该点正法线方向,其模是面积微分充,即 ds=no(x,y, 第五章向量分析第五章 向量分析 第五章 向量分析 0 ( , , ) r r xi yj zk n x y z       =          + + =  , 可以根据要求的侧面 选取其中的符号,作为法向量正向，相应一 侧作正侧, 对封闭曲面，通常选外法向为正向，此例中即： 0 n r   = . (B) 如果曲面 S 由方程 z = f (x, y) 确定, 在 M(x, y, f (x, y)) 处 其单位法向量为 . 1 ( ) ( ) ( , , ) 2 2 x f x f j k y f i x f n x y z         + + − − + =  如果以与 z 轴夹角小于 2  的为正向, 则应当 v 在上式中选取正号. 例如, 平面 S : z = 1− x − y, 如果上侧为正, 则上述向量的符号 应当取正 ,即 n x y z i j k ( , , ) = . + + 3 (C) 如果曲面 S 由参数方程 ( ) ( ) ( )      = = = z z u v y y u v x x u v , , , , 确定. 则在任意一点 (u,v) 的单位法向量是 . | | 2 2 2 1 2 1 2 A B C Ai Bj Ck l l l l n + + + + =    =          其中 A y z u v B z x u v C x y u v = det = = ( , ) ( , ) , det ( , ) ( , ) , det ( , ) ( , ) .       这时可以根据曲面的方向适当地选取(4.3)中的的符号. ⚫ 有向曲面 S 的边界  S 定向: 有向曲面 S 的边界  S 是有向曲线. 其方向按左侧规定：即, 当 人站在曲面的正侧 (即站立方向与正侧法向量一致), 沿着  S 正向 前进时, 曲面 S 总是在它的左侧. (二) 面微分向量(有向面积微元) 有向曲面 S 上点 M(x, y,z) 处的有向面积微元 dS  是一个向量： 其方向是该点正法线方向，其模是面积微分充，即 dS n0 (x, y,z)dS   =