第五章向量分析 其中而(x,y,z),为该点正侧单位法向量 在直角坐标系下有投影表示 ds=no(x, y, =)dS= Cosa dsi+ CosB dsj+ Cosy ds k = dy a di+d∧dxj+ax∧dk 这里,dS是面积微元,是正标量: dy∧d,dAdx,dx∧d是有向面微元分别在yz,x,xy三坐 标平面上的投影,如此记法这里是为了区别二重积分中的面积元, d∧c= cos ads,c∧ax= cos BdS,d∧d=cosS “∧”表示“外积”,满足如下重要性质(反称性) dx∧ax=d∧d=d∧d=0 dx∧d=-d∧dx,d∧d=-cAd,d^ax=-txAd (2)第二型曲面积分 例子:流场中通过曲面的流量 设区域ΩcR中有流体的流速场 U=X(x,y, =)i+Y(x,y,=j+Z(x,y, =)k 流体的密度为1,设S为内的一个光滑曲面试求流体通过S的 的流量. 解:取S的一侧为正侧,每点单位法向量为0(x,y,z) 在曲面S上任一点M(x,y,2)处取有向面积微元dS.则 流体通过dS流向正侧之流量为 dQ=U(x,y,z)dS=X小∧d+ Ydza dx+Z∧d 流体通过S流向正侧之流量为 o=U(x,y,=).ds Xd入在+Y在Ad+ZdAd 由此可得到第二型曲面积分的概念 定义:设F=X(x,yz)+Y(x,y,=)+Z(x,y,是区域 Ω≤R上的向量函数,S是中的光滑的有向曲面 第五章向量分析第五章 向量分析 第五章 向量分析 其中 n (x, y,z) 0  , 为该点正侧单位法向量. 在直角坐标系下有投影表示： dS n x y z dS Cos dsi Cos dsj Cos ds k      = ( , , ) =  +  +  0 = dy dzi dz dx j dx dy k     +  +  这里， dS 是面积微元, 是正标量； dy  dz,dz  dx,dx  dy 是有向面微元分别在 yz,zx, xy 三坐 标平面上的投影, 如此记法这里是为了区别二重积分中的面积元, dydz = cosdS,dzdx = cosdS,dxdy = cosdS. “  ”表示“外积”, 满足如下重要性质(反称性): dx  dx = dy  dy = dz  dz = 0 ; dx  dy = −dy  dx,dy  dz = −dz  dy,dz  dx = −dx  dz (2) 第二型曲面积分 ⚫ 例子：流场中通过曲面的流量: 设区域   3 R 中有流体的流速场： U X (x y z)i Y(x y z)j Z(x y z)k     = , , + , , + , , 流体的密度为 1, 设 S 为  内的一个光滑曲面.试求流体通过 S 的 的流量. 解: 取 S 的一侧为正侧，每点单位法向量为 ( , , ) 0 n x y z  . 在曲面 S 上任一点 M(x, y,z) 处取有向面积微元 dS  .则 流体通过 dS  流向正侧之流量为 dQ = U(x y z) dS = X dy  dz + Y dz  dx + Z dx  dy   , , 流体通过 S 流向正侧之流量为  =  S Q U x y z dS   ( , , ) =   +  +  S X dy dz Y dz dx Z dx dy 由此可得到第二型曲面积分的概念. ⚫ 定 义 : 设 F X (x y z)i Y(x y z)j Z(x y z)k    = , , + , , + , , 是区域   3 R 上的向量函数, S 是  中的光滑的有向曲面