第五章向量分析 对任作一划分,第i小片作为有向面积AS,在三个坐标平面上 的投影分别为:△x,A,x,△,在△S,上任取一点 M(x1,y2=;),若和式极限 im∑X(MA=+Y(M)Aax+z(M)Aσn 存在,则称之为F(x,y,=)在曲面S上的第二型曲面积分.记成 Fxy)d-xd入在+YA+zAd 注:(i)积分中F(x,y,z)取值在曲面S上 (ii)对具体的曲面S的定向依据几何图 (iii)如果S是由有向光滑曲面S,S连接而成的由有向 的逐片光滑曲面,则定义 (iv)第二型曲面积分也具有方向性,即 F·dS=-F·dS 其中-S表示有向曲面S的另一侧 (V)若将单位法向量0(x,y,)表为 n= cos aa+cosf+cos水 则F·4s=∫ X cos a ds+ Y cos Bds+ Cosy ds 这就化成了第一类曲面积分 如果S由参数方程x=x(u,v),y=y(l,v),=(,v)表示,则 Ai+ Bj+Ck no A2+B2+C2 B CoSa= A=0B=+8+C cOSy= A2+B2+c A2+B2+C2 于是又有 F ds=I(XA+YB+z c)udv 例1:计算第二型曲面积分 第五章向量分析第五章 向量分析 第五章 向量分析 对任作一划分, 第 i 小片作为有向面积 Si   ，在三个坐标平面上 的投影分别为： , , , i yz i zx i xy 在 Si   上任取一点 ( , , ) i i i i M x y z , 若和式极限  ( ) ( ) ( ) = → X Mi i yz + Y Mi i zxz + Z Mi i xy  0 lim 存在，则称之为 F(x, y,z)  在曲面 S 上的第二型曲面积分. 记成：   S F x y z dS   ( , , ) =   +  +  S X dy dz Y dz dx Z dx dy 注: (i) 积分中 F(x, y,z)  取值在曲面 S 上; (ii) 对具体的曲面 S 的定向依据几何图； (iii) 如果 S 是由有向光滑曲面 S1 ,...,Sk 连接而成的由有向 的逐片光滑曲面,则定义   =  =  k S i Si F dS F dS 1     . (iv) 第二型曲面积分也具有方向性,即 .    = −  −S S F dS F dS     其中 − S 表示有向曲面 S 的另一侧. (V) 若将单位法向量 ( , , ) 0 n x y z  表为： n = cosi +cosj +cosk. 则    = + + S S F dS X cos dS Y cos  dS Z cos dS  这就化成了第一类曲面积分； 如果 S 由参数方程 x = x(u,v), y = y(u,v),z = z(u,v). 表示,则 2 2 2 0 A B C Ai Bj Ck n + + + + =  cos ,cos ,cos . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A B C C A B C B A B C A + + = + + = + +  =   于是又有 ( ) .    =  +  +  S S F dS X A Y B Z C dudv   例 1:计算第二型曲面积分