第五章向量分析 =x入在+yA+入h 其中S为半球面z=√R-x2 解1:按定义做三个积分,分别计算三个积分 1=xdA在,l2=ydA1==2Ah 对于曲面S的方程为z=√R2-x2- dx∧dy=cosy (曲面上侧为正,单位法向量与O轴正向的夹角余弦COSy为正.)因此 1=1=bAb-( Ide((r2-r2)n 对于l1=1xd入d,将S分成前后两部分 S:x=√R-y-=(z20)s:x=-R-y-=(z≥20) 在S1上,单位法向量n(x,y,2)与Ox轴正向的夹角余弦cOSa为正,所以 ax∧dhy=d S在y平面上的投影为 D=={(y,=)y R2,z≥0.} 于是 xdhy∧c idersin ONR2-r2rdr=2 R sint cos'tdt =TR 对于曲面S2,单位法向量n(x,y,z)与Ox轴正向的夹角余弦 cosa为负,所以txAd=-do x=√R-y-2.因为两个积分的积分区域相同,所以有 xz∧c=1xdyA 第五章向量分析第五章 向量分析 第五章 向量分析 . 2  =  +  +  S I x zdy dz y zdz dx z dx dy 其中 S 为半球面 z = R − x − y 2 2 2 . 解 1: 按定义做三个积分，分别计算三个积分:    =  =  =  S S S I x zdy dz,I yz dz dx, I z dx dy. 2 1 2 3 ⚫ 对于 I 3 . 曲面 S 的方程为 2 2 2 z = R − x − y . dx dy dS d xy  = cos = (曲面上侧为正,单位法向量与 oz 轴正向的夹角余弦 cos 为正.)因此 ( )   =  = − − Dxy xy S I z dx dy R x y d 2 2 2 2 3 =   − =    2 0 0 2 2 4 2 1 ( ) R d R r rdr R ⚫ 对于  =  S I xzdy dz, 1 将 S 分成前后两部分: 1 2 2 2 2 2 2 2 S : x = R − y − z (z  0),S : x = − R − y − z (z  0). 在 S1 上,单位法向量 n(x, y,z) 与 ox 轴正向的夹角余弦 cos 为正,所以 dxdy = d yz. S1 在 yz 平面上的投影为 {( , ) | , 0.} 2 2 2 Dyz = y z y + z  R z  , x = R − y − z 2 2 2 . 于是    +   = − − 0 2 2 2 1 2 2 2 z y z R d yz z R y z S xzdy dz  = . 8 1 sin 2 sin cos 2 2 4 2 0 4 0 0 2 2 d r R r rdr R t tdt R R      − = =    ⚫ 对于曲面 S2 ,单位法向量 ( , , ) 0 n x y z  与 ox 轴正向的夹角余弦 cos 为负,所以 dxdy = −d yz. x = − R − y − z 2 2 2 . 因为两个积分的积分区域相同, 所以有 . 8 1 4 2 1 R S xzdy dz S xzdy  dz =  =   