第五章向量分析 于是 =x入=x入在x入= 同样的方法可以得到 y∧dx=-m 于是 =l1+l2+l3=丌R 解2:化成第一类曲面积分 由I=F元dS.其中 F=xi+yj+z2k.注意到 (o/dedyardxdy 所以, 1=JF. ds=(x+y+=)drdy= JR'dxdy=R 例2:计算积分=F:S.其中F=x7+x+=3k, S是三个坐标面与平面x+y+2=1围成的四面体的外表面 解 S由四片光滑曲面S1,S2,S3S1组成 其中S2S2,S分别是xOV,=0x,yDz平面上的三角形 S是平面x+y+2=1在第一卦限中的部分.于是 ∫Pd=(∫+」∫+∫+∫)F·ds 在S1上,由于是沿下侧积分,而下侧的单位法向量是-k,并且 AS=axd所以 ∫FdS=」』=a入b=-dd=0 同样可以得到Fds ·在S上dS=√3,i=(+j+k),所以 F:.s=Fn△=』(x2+y2+=2)dh 第五章向量分析第五章 向量分析 第五章 向量分析 于是 2 I = . 4 1 4 1 2 xzdy dz xzdy dz xzdy dz R S S S      =  +  = 同样的方法可以得到 I 2 = . 4 1 4 yzdz dx R S  =   于是 I = I 1 + I 2 + I 3 = R 4  . 解 2: 化成第一类曲面积分: 由  =  S I F n0dS   . 其中 F xzi yzj z k 2 = + +  .注意到, dxdy z R dxdy y z x z Cos dxdy dS =            +        = = + 2 2 1  所以,    +  =  = + + = = 2 2 2 ( ) . 2 2 2 2 4 S S x y R I F dS x y z dxdy R dxdy R   例 2:计算积分  =  S I F dS   .其中 , 2 2 2 F x i x j z k     = + + S 是三个坐标面与平面 x + y + z = 1 围成的四面体的外表面. 解: S 由四片光滑曲面 S1 ,S2 ,S3 ,S4 组成. 其中 S1 ,S2 ,S3 分别是 xoy,zox, yoz 平面上的三角形. S4 是平面 x + y + z = 1 在第一卦限中的部分.于是 ( ) . 1 2 3 4       = + + +  S S S S S F dS F dS     ⚫ 在 S1 上,由于是沿下侧积分,而下侧的单位法向量是 −k ,并且 dS = dxdy. 所以 0 0. 1 1 1 2     =  = − = S dxdy S S F dS z dx dy  ⚫ 同样可以得到 0. 2 3  =  =   S S F dS F dS     ⚫ 在 S4 上 ( ) 3 1 3 , 0 dS dxdy n i j k     = = + + ,所以      +   =  = + + 0, 0 1 2 2 2 0 ( ) 4 4 x y S x y x y z dxdy S F dS F n dS    