,544 北京科技大学学报 第29卷 x(i+1)=Ax(i)+Bu(i)+Ew(i)(6) c(i十1)=A(i)十B△u(i)+EAw(i)+F△r(i) 考虑到式(1)，观测方程可取为： (12a) e(iN)=y(iN)-r(iN)= e(i)=C(i) (12b) Cx(iN)+Du(iN)-r(iN) 系统(12)就是用于设计带有预见补偿的最优控 再令e(i)=e(N),r(i)=r(iN),得到形试上没有 制器的最终系统，为了方便，把系统(7)和系统(12) 多重采样特点的系统： 都称为扩大误差系统， 为了得到好的瞬态响应，针对系统(12)引入二 x(i+1)=Ax(i)+Bu(i)+Ew(i) (7a) 次型性能指标函数如下： e(i)=Cx(i)+Du(i)-r(i) (7b) = [)0()+△n()Ra(i】 注意：e(i)是每隔N个时刻的跟踪误差，只能 =0 对它进行监控， (13) 由于系统(7)的方程描述的是状态每隔N步的 Q12 =Q≥0，R=RT>0.通常 变化，即x(iN)(i为整数)的变化，所以称系统(7) 其中，0Q0 是与快速采样系统(1)相对应的慢速采样系统. 设0=Q。>0. 2.2构造扩大误差系统 至此，具有多重采样设置的系统(1)的预见控制 定义差分算子： 问题就转化成了扩大误差系统(12)的具有性能指标 △x(k)=x(k+1)一x(k) (8) 函数(13)的标准最优预见控制问题.由假设4，其 由式(7)两边求差分，得到： 中可预见信息是：在当前时刻，目标值信号的未来值 △r(i),△r(i十1)，，△r(i+十S)是已知的；在当前 △x(i+1)=A△x(i)+B△u(i)+EAo(i)(9) 时刻i,干扰信号的未来值△w(),△w(i十1)，…， e(i+l)=e(i)+C△x(i)+D△u(i)-△r(i) (10) △w(i十Sa)是已知的. 其中， 3扩大误差系统性质的讨论 D=[D0…0]∈RaX(Nm) 引理1(A,[AN-BA-2B…B])可 式(9)与式(10)一起得到： 镇定（能控）的充分必要条件是(A,B)可镇定（能 控) ,△x(i+1) L0A4L△x() 此引理的证明见文献[9]换句话说，(A,B) 可镇定（能控）当且仅当(A,B)可镇定（能控）· 0 a(+[r0 定理1若矩阵C行满秩，则(A,B)可镇定 (能控)的充分必要条件是可(A,B)镇定（能控）· 证明利用文献[11]所给出的PBH判别法， (11a) (A,B)可镇定的充分必要条件是：对任意满足 观测方程取为： |入≥1的复数入，矩阵[A一MB]行满秩. (1)先证必要性，由A、B的结构知： e(i)=[1 e(i) (11b) L△x(i) (1-x)1C D [A-NIB]= (14) 0 A-NB 定义(i)= e(i) ∈R+P,A= 由(A,B)可镇定知对任意满足|入≥1的复数 ,△x(i) 入，式(14)中的矩阵行满秩，从而[A一MB]行满 ,C=[10]式(10)可 秩，即(A,B)可镇定，再由引理1，从(A,B)可镇定 B 可导出(A,B)可镇定.必要性得证 改写为： (2)再证充分性.(A,B)可镇定，由引理1可x（ i＋1）＝ Ax（ i）＋Bu（ i）＋ Ew（ i） （6） 考虑到式（1）‚观测方程可取为： e（ iN）＝y（ iN）— r（ iN）＝ Cx（ iN）＋ Du（ iN）— r（ iN）． 再令 e（ i）＝e（ iN）‚r（ i）＝ r（ iN）‚得到形式上没有 多重采样特点的系统： x（ i＋1）＝ Ax（ i）＋Bu（ i）＋ Ew（ i） （7a） e（ i）＝Cx（ i）＋ D u（ i）— r（ i） （7b） 注意：e（ i）是每隔 N 个时刻的跟踪误差‚只能 对它进行监控． 由于系统（7）的方程描述的是状态每隔 N 步的 变化‚即 x（ iN）（ i 为整数）的变化‚所以称系统（7） 是与快速采样系统（1）相对应的慢速采样系统． 2∙2 构造扩大误差系统 定义差分算子： Δx（ k）＝x（ k＋1）—x（ k） （8） 由式（7）两边求差分‚得到： Δx（ i＋1）＝ AΔx（ i）＋BΔu（ i）＋ EΔω（ i） （9） e（ i＋1）＝e（ i）＋CΔx（ i）＋ DΔu（ i）—Δr（ i） （10） 其中‚ D＝［ D 0 … 0］∈R n×（ Nm）． 式（9）与式（10）一起得到： e（ i＋1） Δx（ i＋1） ＝ I C 0 A e（ i） Δx（ i） ＋ D B Δu（ i）＋ 0 E Δw（ i）＋ — I 0 Δr（ i） （11a） 观测方程取为： e（ i）＝ I 0 e（ i） Δx（ i） （11b） 定义 ＾x（ i）＝ e（ i） Δx（ i） ∈ R n＋p‚＾A＝ I C 0 A ‚＾B＝ D B ‚＾E＝ 0 E ‚＾F＝ — I 0 ‚＾C＝［ I 0］．式（10）可 改写为： ＾x（ i＋1）＝＾A＾x（ i）＋＾BΔu（ i）＋＾EΔw（ i）＋＾FΔr（ i） （12a） e（ i）＝＾C＾x（ i） （12b） 系统（12）就是用于设计带有预见补偿的最优控 制器的最终系统．为了方便‚把系统（7）和系统（12） 都称为扩大误差系统． 为了得到好的瞬态响应‚针对系统（12）引入二 次型性能指标函数如下： J＝ ∑ ∞ i＝0 ［＾x T （ i） Q＾x（ i）＋Δu T （ i） RΔu（ i）］ （13） 其中‚Q＝ Qe Q12 Q T 12 Qx ＝ Q T ≥0‚R＝ R T ＞0．通常 设 Qe＝ Q T e ＞0． 至此‚具有多重采样设置的系统（1）的预见控制 问题就转化成了扩大误差系统（12）的具有性能指标 函数（13）的标准最优预见控制问题．由假设4‚其 中可预见信息是：在当前时刻‚目标值信号的未来值 Δr（ i）‚Δr（ i＋1）‚…‚Δr（ i＋ Sr）是已知的；在当前 时刻 i‚干扰信号的未来值Δw（ i）‚Δw（ i＋1）‚…‚ Δw（ i＋Sd）是已知的． 3 扩大误差系统性质的讨论 引理1 （ A N‚［ A N—1B A N—2B … B］）可 镇定（能控）的充分必要条件是（ A‚B）可镇定（能 控）． 此引理的证明见文献［9］．换句话说‚（ A‚B） 可镇定（能控）当且仅当（ A‚B）可镇定（能控）． 定理1 若矩阵 C 行满秩‚则（ ＾A‚＾B）可镇定 （能控）的充分必要条件是可（ A‚B）镇定（能控）． 证明 利用文献 ［11］ 所给出的 PBH 判别法‚ （＾A‚＾B）可镇定的充分必要条件是：对任意满足 ｜λ｜≥1的复数 λ‚矩阵［ ＾A—λI｜＾B］行满秩． （1） 先证必要性．由 ＾A、＾B 的结构知： ［ ＾A—λI｜＾B］＝ （1—λ） I C D 0 A—λI B （14） 由（＾A‚＾B）可镇定知对任意满足｜λ｜≥1的复数 λ‚式（14）中的矩阵行满秩‚从而［ A—λI｜B］行满 秩‚即（ A‚B）可镇定‚再由引理1‚从（ A‚B）可镇定 可导出（ A‚B）可镇定．必要性得证． （2） 再证充分性．（ A‚B）可镇定‚由引理1可 ·544· 北 京 科 技 大 学 学 报 第29卷