初等代数研究 第三章函数 一、函数的发展 运动、变量与曲线的数学描述，催生了函数思想，并把函数概念和方法置于整个数学的中心地 位。微积分研究对象是函数，几何图形则成为函的图像。世界万物之间的联系与变化都有可能以 各种不同的函数作为它们的数学模型 函数概念是在欧洲文艺复兴之后，在资本主义文明萌芽时期的16一17世纪才逐渐产生， 伽利略研究抛物线的运动及自由落体运动，产生了函数S=g。 法国数学家笛卡儿最先提出了“变量”的概念，他在《几何学》中不仅引入了坐标，而且实际 上也引入了变量，他在指出x,y是变量的同时，还注意到y依赖于x而变化，这正是函数思想的萌 芽。 牛顿深刻地认识到：“曲线是由于点的连续运动”，即曲线是动点的轨迹。动点的位置是时间的 函数x=x)y=y)。牛顿创立微积分的时候，用“流数”(Fluent)一词表示变量间的关系。莱 布尼茨在l673年的手稿中则用“Function”一词。李善兰在《代微积拾级》一书中将Function一词 翻译为“函数”，并一直沿用至今。 函数作为微积分的研究对象，牢牢地占据着近代数学的中心地位。 1755年，欧拉提出了一个明确的函数定义：“如果某些变量以如下方式依赖于另一些变量，即 当后者变化时，前者本身也发生变化，则称前一个变量是后一个变量的函数”。 851年，黎曼定义：“我们假定Z是一个变量。如果对它的每一个值，都有未知量W的一个 值与之对应，则称W是Z的函数”。 1939年，布尔巴基学派的著作认为，若E,F是两个集合，二者的笛卡儿积是指 {x,川x∈X,y∈Y}XY中的任何子集S称为x,y之间的一种关系。如果关系F满足：对于每 个x∈X,都存在唯一的一个y,使得(y)EF,则称关系F是一个函数。 这三种函数的定义，分别是变量说、对应说（映射说）、关系说。这是函数概念的三个里程碑。 总之，函数概念的灵魂是运动，是变量，是变量关系。 界大战之后，函数思想才全面进入中学数学课程。 中国也是这样。1949年以前，中国中学里的数学课程仍然少见函数的踪迹。到了20世纪50 年代，中国数学教育全面学习前苏联，函数终于取得了中学数学课程中的核心地位。 《普通高中数学课程标准（实验）》必修课程：数学】函数概念与基本初等函数【（指数函数 对数函数、幂函数)：数学4基本初等函数Ⅱ（三角函数）。 二、函数概念的三种定义 1.函数概念的定义 第1页共8页 初等代数研究 第1页 共8页 第三章 函数 一、函数的发展 运动、变量与曲线的数学描述，催生了函数思想，并把函数概念和方法置于整个数学的中心地 位。微积分研究对象是函数，几何图形则成为函数的图像。世界万物之间的联系与变化都有可能以 各种不同的函数作为它们的数学模型。 函数概念是在欧洲文艺复兴之后，在资本主义文明萌芽时期的 16－17 世纪才逐渐产生。 伽利略研究抛物线的运动及自由落体运动，产生了函数 2 2 1 S = gt 。 法国数学家笛卡儿最先提出了“变量”的概念，他在《几何学》中不仅引入了坐标，而且实际 上也引入了变量，他在指出 x, y 是变量的同时，还注意到 y 依赖于 x 而变化，这正是函数思想的萌 芽。 牛顿深刻地认识到：“曲线是由于点的连续运动”，即曲线是动点的轨迹。动点的位置是时间的 函数 x = x(t), y = y(t) 。牛顿创立微积分的时候，用“流数”（Fluent）一词表示变量间的关系。莱 布尼茨在 1673 年的手稿中则用“Function”一词。李善兰在《代微积拾级》一书中将 Function 一词 翻译为“函数”，并一直沿用至今。 函数作为微积分的研究对象，牢牢地占据着近代数学的中心地位。 1755 年，欧拉提出了一个明确的函数定义：“如果某些变量以如下方式依赖于另一些变量，即 当后者变化时，前者本身也发生变化，则称前一个变量是后一个变量的函数”。 1851 年，黎曼定义：“我们假定 Z 是一个变量。如果对它的每一个值，都有未知量 W 的一个 值与之对应，则称 W 是 Z 的函数”。 1939 年，布尔巴基学派的著作认为，若 E, F 是两个集合，二者的笛卡儿积是指 (x, y)| x X, yY。 XY 中的任何子集 S 称为 x, y 之间的一种关系。如果关系 F 满足：对于每 一个 x X ，都存在唯一的一个 y ，使得 (x, y)F ，则称关系 F 是一个函数。 这三种函数的定义，分别是变量说、对应说（映射说）、关系说。这是函数概念的三个里程碑。 总之，函数概念的灵魂是运动，是变量，是变量关系。 在 20 世纪以前，中学数学的中心是方程。1908 年，数学家 F·克莱因担任国际数学教育委员 会主席。他首次提出，中学数学应当以函数为中心；或者说“以函数为纲”。实际上直到第二次世 界大战之后，函数思想才全面进入中学数学课程。 中国也是这样。1949 年以前，中国中学里的数学课程仍然少见函数的踪迹。到了 20 世纪 50 年代，中国数学教育全面学习前苏联，函数终于取得了中学数学课程中的核心地位。 《普通高中数学课程标准（实验）》必修课程：数学 1 函数概念与基本初等函数Ⅰ（指数函数、 对数函数、幂函数）；数学 4 基本初等函数Ⅱ（三角函数）。 二、函数概念的三种定义 ⒈函数概念的定义