初等代数研究 定义1有两个互相联系的变量，一个变量的数值可以在某一范围内任意变化，这样的变量叫 做自变量。另一个变量的数值随着自变量的数值而变化，这个变量称为因变量，并且称因变量为自 变量的函数。(19世纪法国数学家柯西) 义 在某变化过程中 有两个变量x和y。如果对于x在某一范围内的每一个确定的值 按照某个对应关系，y都有唯一确定的值和它对应，那么就把y称为x的函数：x称为自变量。(19 世纪德国数学家黎曼和狄里赫勒分别给出) 定义3A和B是两个集合，如果按照某种对应关系，使A的任何一个元素在B中都有唯 元素和它对应，这样的对应关系称为从集合A到集合B的函数。(19世纪0年代德国数学家康 托 定义4从集合A到集合B的映射∫：A→B称为从集合A到集合B的函数，简称为函数∫。 (高等代数课程) 定义5从集合A到集合B的函数∫是满足以下条件的从A到B的一个关系： ()Df）=A:(2如果(x,y)ef,并且(k,)ef,那么y=:。 函数f记作∫：A→B。 2函数概念的三种定义 @高益袋毫设霍个变化过程中有丙个变量x和y,如果变量)随有x的变化面变化，那么效说 x是自变量，y是因变量，也称y是x的函数。 这种陈述性的定义，是函数的传统定义。它建立在变量的基础上，强调了变化。而描述变化， 正是函数最重要的特征。函数定义的变量说，是对函数的一个宏观的、整体的把握。 (2)函数的对应说定义 设A为非空实数集，如果存在一个对应规律f,对A中每个元x按照对应规律∫，存在R中 唯一的一个实数v与之对应，则称对应规律f是定义在A上的函数，表为 f:A→R 这一定义建立在“集合”和“对应”这两个基本概念上，是函数的现代定义。在高中阶段基本 上就用这种定义。 目前，在中学数学课程标准中，函数定义在抽象的集合上，把函数看作映射的特殊情形。由于 映射是用对应 定义的，所以“对应说”与“映射说”其实是一回事。 (3)函数的关系说定义 设∫是集合X与集合Y的关系，即f∈X×Y。如果还满足(x,y)∈f,(x,y2)∈f,则 =，那么称∫是集合X到集合Y的函数 函数是一种特殊的关系。“关系说”是完全数学化的定义，也便于为计算机所接受，具有多方 面的优越性。这种定义是函数的形式化定义。 然而，关系说过于形式化，抽去了函数关系生动的直观特征，看不出对应关系的形式，更没有 解析式的表达，所以初学者不易掌握。 第2页共8页初等代数研究 第2页 共8页 定义 1 有两个互相联系的变量，一个变量的数值可以在某一范围内任意变化，这样的变量叫 做自变量。另一个变量的数值随着自变量的数值而变化，这个变量称为因变量，并且称因变量为自 变量的函数。（19 世纪法国数学家柯西） 定义 2 在某变化过程中，有两个变量 x 和 y 。如果对于 x 在某一范围内的每一个确定的值， 按照某个对应关系， y 都有唯一确定的值和它对应，那么就把 y 称为 x 的函数； x 称为自变量。（19 世纪德国数学家黎曼和狄里赫勒分别给出） 定义 3 A 和 B 是两个集合，如果按照某种对应关系，使 A 的任何一个元素在 B 中都有唯一 的元素和它对应，这样的对应关系称为从集合 A 到集合 B 的函数。（19 世纪 70 年代德国数学家康 托） 定义 4 从集合 A 到集合 B 的映射 f : A → B 称为从集合 A 到集合 B 的函数，简称为函数 f 。 （高等代数课程） 定义 5 从集合 A 到集合 B 的函数 f 是满足以下条件的从 A 到 B 的一个关系： ⑴ D(f ) = A ；⑵如果 (x, y) f ，并且 (x,z) f ，那么 y = z 。 函数 f 记作 f : A → B 。 ⒉函数概念的三种定义 ⑴函数的变量说定义 一般地，设在一个变化过程中有两个变量 x 和 y ，如果变量 y 随着 x 的变化而变化，那么就说 x 是自变量， y 是因变量，也称 y 是 x 的函数。 这种陈述性的定义，是函数的传统定义。它建立在变量的基础上，强调了变化。而描述变化， 正是函数最重要的特征。函数定义的变量说，是对函数的一个宏观的、整体的把握。 ⑵函数的对应说定义 设 A 为非空实数集，如果存在一个对应规律 f ，对 A 中每个元 x 按照对应规律 f ，存在 R 中 唯一的一个实数 y 与之对应，则称对应规律 f 是定义在 A 上的函数，表为 f : A → R 这一定义建立在“集合”和“对应”这两个基本概念上，是函数的现代定义。在高中阶段基本 上就用这种定义。 目前，在中学数学课程标准中，函数定义在抽象的集合上，把函数看作映射的特殊情形。由于 映射是用对应来定义的，所以“对应说”与“映射说”其实是一回事。 ⑶函数的关系说定义 设 f 是集合 X 与集合 Y 的关系，即 f  X Y 。如果还满足 (x , y ) f ,(x , y ) f 1 1 1 2 ，则 1 2 y = y ，那么称 f 是集合 X 到集合 Y 的函数。 函数是一种特殊的关系。“关系说”是完全数学化的定义，也便于为计算机所接受，具有多方 面的优越性。这种定义是函数的形式化定义。 然而，关系说过于形式化，抽去了函数关系生动的直观特征，看不出对应关系的形式，更没有 解析式的表达，所以初学者不易掌握