初等代数研究 上述三种函数定义，各有各的不同特点。“变量说”是最朴素、最根本，也是最重要的，对于 初学者更容易接受。“对应说”形式化的程度较高，对于研究函数的精细性质具有一定的优势。“关 系说”形式化的程度更高，在计算机科学中、人工智能设计中具有一定的作用。 3函数在中学数学中的重要作用 函数是中学数学的核心内容。从常量数学到变量数学的转变，是从函数概念的系统学习开始的： 函数知识的学习对学生思维能力的发展具有重要意义。从中学数学知识的组织结构看， 函数是 的“纽带”，代数式、方程、不等式、数列、排列组合、极限和微积分等都与函数知识有直接的联系 例如， 代数式2a2+3a-1,可以看成是函数y=2x2+3x-1在x=a时的值： 方程fx)=0的根，可以看成是函数y=f(x)的图像与x轴交点的横坐标 不等式f(x)>0的解，可以看成是函数y=f(x)的图像上位于x轴上方部分的点的横坐标集 闪 等比数列1,2,4,8，可以看成是函数y=2(x=1,2,3)的另一种表示：等等。 函数性质在等式或不等式的求解、证明中往往是非常有力的工具，例如 证明：C。+C+C日+.+C=2”,只要令函数y=(1+x)”=C9+Cx+Cx2++Cx 中的x=1即可。 又如：已知a>6,那么，启行成立的充要条件是《）。 (a)a>b>0(B)b<a<0(Ca>0>b(D)0<b<a<1 引进函数y= ,此函数在区间（∞，0以.(0，+∞）上都是诚函数。易知，当条件A、B或D之一成立 均有。，当且仅当c使时，有·所以 函数还是数学的后续发展的基础，同时在物理、化学等自然科学中有着广泛的应用，在解决生 产生活中的实际问题时，也往往采用函数作为建模的基本工具。 作业1 自学课本第五节函数概念的教学，并就函数的三种定义（变量说、对应说、关系说）选择一种 分析其优缺点。 第3页共8页 初等代数研究 第3页 共8页 上述三种函数定义，各有各的不同特点。“变量说”是最朴素、最根本，也是最重要的，对于 初学者更容易接受。“对应说”形式化的程度较高，对于研究函数的精细性质具有一定的优势。“关 系说”形式化的程度更高，在计算机科学中、人工智能设计中具有一定的作用。 ⒊函数在中学数学中的重要作用 函数是中学数学的核心内容。从常量数学到变量数学的转变，是从函数概念的系统学习开始的。 函数知识的学习对学生思维能力的发展具有重要意义。从中学数学知识的组织结构看，函数是代数 的“纽带”，代数式、方程、不等式、数列、排列组合、极限和微积分等都与函数知识有直接的联系。 例如， 代数式 2 3 1 2 a + a − ，可以看成是函数 2 3 1 2 y = x + x − 在 x = a 时的值； 方程 f (x) = 0 的根，可以看成是函数 y = f (x) 的图像与 x 轴交点的横坐标； 不等式 f (x)  0 的解，可以看成是函数 y = f (x) 的图像上位于 x 轴上方部分的点的横坐标集 合； 等比数列 1,2,4,8,  ，可以看成是函数 y = 2 (x =1,2,3, ) x 的另一种表示；等等。 函数性质在等式或不等式的求解、证明中往往是非常有力的工具，例如 证明： n n Cn Cn Cn Cn 2 0 1 2 + + ++ = ，只要令函数 n n n n n n n y = + x = C + C x + C x ++ C x 0 1 2 2 (1 ) 中的 x =1 即可。 又如：已知 a  b ，那么， a b 1 1  成立的充要条件是（ ）。 (A) a  b  0 (B) b  a  0 (C) a  0  b (D) 0  b  a 1 引进函数 x y 1 = ，此函数在区间 (−,0),(0,+) 上都是减函数。易知，当条件 A、B 或 D 之一成立 时，均有 a b 1 1  ，当且仅当 C 成立时，有 a b 1 1  。所以选 C。 函数还是数学的后续发展的基础，同时在物理、化学等自然科学中有着广泛的应用，在解决生 产生活中的实际问题时，也往往采用函数作为建模的基本工具。 作业 1 自学课本第五节函数概念的教学，并就函数的三种定义（变量说、对应说、关系说）选择一种 分析其优缺点