初等代数研究 三、初等函数 1.初等函数的定义 中学所学习的主要初等函数有：常量函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角 函数等，称为基本初等函数。 定义（初等函数）由基本初等函数经过有限次的代数运算及有限次的函数复合所得到的函数叫做 初等函数。 基本初等函数一个重要的特点是它能通过一个统一的代数式在定义域上表达出来。 例如y=[x,y= <0)=1+x+x2+.等都不是初等函数 x.x≥0 定义（代数函数）如果一个函数是用基本初等函数f(x)=x和f(x)=c(初等代数式)经过 有限次代数运算（加、减、乘、除、乘方、开方）所得到的初等函数，则叫做代数函数。不是代数 函数的初等函数叫做超越函数。 初等函数的分类 初等函数代数函数/有理函数有理整函数 有理分函数 无理函数 超越函数 例证明指数函数y=a(a>0,a≠)是超越函数 见课本P100例1 2初等函数的定义域和值域 ①函数的定义域 函数的定义域是使函数有意义（包括函数表达式的数学意义和问题的实际背景所限定的意义） 的自变量的取值范围。 确定初等函数定义域的原则 若fx)是整式，则定义域为全体实数： 若fx)是分式，则定义域为使分母不为零的全体实数： 若fx)是偶次根式，则定义域为使被开方式为非负的全体实数 函数fx)=x°的定义域是(o,0八U0,+∞) 例用长为1的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形底边长为2x,求此框架围成 的面积y与x的函数关系y=f(x),并求其定义域。 见课本PI05例2 ②函数的值域 函数的值域就是函数值组成的集合。 第4页共8页初等代数研究 第4页 共8页 三、初等函数 ⒈初等函数的定义 中学所学习的主要初等函数有：常量函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角 函数等，称为基本初等函数。 定义（初等函数） 由基本初等函数经过有限次的代数运算及有限次的函数复合所得到的函数叫做 初等函数。 基本初等函数一个重要的特点是它能通过一个统一的代数式在定义域上表达出来。 例如    = + + +   = = , ( ) 1 2  , 0 , 0 [ ], f x x x x x x x y x y 等都不是初等函数。 定义（代数函数） 如果一个函数是用基本初等函数 f (x) = x 1 和 f (x) = c 2 （初等代数式）经过 有限次代数运算（加、减、乘、除、乘方、开方）所得到的初等函数，则叫做代数函数。不是代数 函数的初等函数叫做超越函数。 初等函数的分类                超越函数 无理函数 有理分函数 有理整函数 有理函数 代数函数 初等函数 例 证明指数函数 y = a (a  0,a  1) x 是超越函数 见课本 P100 例 1 ⒉初等函数的定义域和值域 ①函数的定义域 函数的定义域是使函数有意义（包括函数表达式的数学意义和问题的实际背景所限定的意义） 的自变量的取值范围。 确定初等函数定义域的原则： 若 f (x) 是整式，则定义域为全体实数； 若 f (x) 是分式，则定义域为使分母不为零的全体实数； 若 f (x) 是偶次根式，则定义域为使被开方式为非负的全体实数； 函数 ( ) 0 f x = x 的定义域是 (−,0)(0,+)。 例 用长为 l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形底边长为 2x ，求此框架围成 的面积 y 与 x 的函数关系 y = f (x) ，并求其定义域。 见课本 P105 例 2 ②函数的值域 函数的值域就是函数值组成的集合