初等代数研究 四、函数的图像与函数的特征 1关于函数的图像 心理学认为：人们大脑里的长期记忆是以比较稳定的图式结构存在的， 由于每个有序实数对(：，)就与平面上的一个点一一对应。所以作函数图像基本的方法就是描 点法。但是，不可能把函数的每个点都描述清楚，这就需要借助函数的特征，先了解图形的大致轮 廊，然后在做出函数的图形来。 以绘制函数图像y=x2+2x+2为例，讲述绘制函数图像的主要步骤： ()确定函数的定义域 (2)研究函数的有界性： (3)研究函数的奇偶性： (④)研究函数的单调性： (5)研究函数的周期性： (⑥)找出函数的特殊点 (⑦)如果函数有渐近线，则先把渐近线求出来，再讨论函数的变化趋势： (8)用平滑曲线将各部分连接起来，曲线上个别不属于图像的点用“。”表示空缺。 例做出函数y=x+的图像。 解： (函数的定义域：（←o,0U0,+∞ (②)函数的有界性：x→+，x→-0，x→0 (3)函数的奇偶性：奇函数。图像关于原点对称，所以只需在(0，+0)内进行讨论。 ()函数的单调性：设0<x<x2,则 二=G+与-6t)=- x21 当0<<<1时，有-y<0,所以函数在0，)上递减，而.+=+0,在x轴 正向函数值由+0递减到2。 当1≤<x,有为-片>0。所以函数在0，+)上递增，而mG+=+0,在轴正 向函数值由2递增到+0 第5项共8页 初等代数研究 第5页 共8页 四、函数的图像与函数的特征 ⒈关于函数的图像 心理学认为：人们大脑里的长期记忆是以比较稳定的图式结构存在的。 由于每个有序实数对 (x, y) 就与平面上的一个点一一对应。所以作函数图像基本的方法就是描 点法。但是，不可能把函数的每个点都描述清楚，这就需要借助函数的特征，先了解图形的大致轮 廓，然后在做出函数的图形来。 以绘制函数图像 2 2 2 y = x + x + 为例，讲述绘制函数图像的主要步骤： ⑴确定函数的定义域； ⑵研究函数的有界性； ⑶研究函数的奇偶性； ⑷研究函数的单调性； ⑸研究函数的周期性； ⑹找出函数的特殊点； ⑺如果函数有渐近线，则先把渐近线求出来，再讨论函数的变化趋势； ⑻用平滑曲线将各部分连接起来，曲线上个别不属于图像的点用“。”表示空缺。 6 4 2 -2 -4 -6 -10 -5 5 10 f(x) = x 2+2x+2 例 做出函数 x y x 1 = + 的图像。 解： ⑴函数的定义域： (−,0)(0,+) ⑵函数的有界性： x → +, x → −, x → 0 ⑶函数的奇偶性：奇函数。图像关于原点对称，所以只需在 (0,+) 内进行讨论。 ⑷函数的单调性：设 0 1 2  x  x ，则 ) 1 ) ( )(1 1 ) ( 1 ( 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 x x x x x x x y − y = x + − + = − − 当 0  x1  x2 1 时，有 y2 − y1  0 。所以函数在 (0,1) 上递减，而 + = + → + ) 1 lim ( 0 x x x ，在 x 轴 正向函数值由 + 递减到 2。 当 1 1 2  x  x ，有 y2 − y1  0 。所以函数在 (1,+) 上递增，而 + = + →+ ) 1 lim ( x x x ，在 x 轴正 向函数值由 2 递增到 +