3)r个块的有序对相加,和等于s。r个块中所含元素的个数相加,和等于n。 证明思路和过程: 设AR的r个等价类集合的元素个数分别是m1,m2,…,mr。则m+m2+...+mr n, mr+mr +m2=s。因此,问题转换为证明(m2+m2+ m2加2(m+m2+….…+m)∥m2,即证明rmr2+m2+….+m2)2(m+m2+… n)2。(可以用数学归纳法进行证明)。 数学归纳法证明:r(m2+mx2+,…+m2)≥m+m2+.…+my2。 归纳基础: 当r=1时,左式=m2,右式=mr2,左式≥右式,命题成立 归纳步骤: 设当r=k时,命题成立。即,kmr2+m2++mk)(m1+m2+.…+my2。 则当r=k+1时,左式= k+D)mr2+m2+……+mk+12) k(mi+m2 +mk+12) k(m2+m2+….….+m2)+kmk+r2+m2+m2+…..+mk2)+mk+r2 =kmr2+m2+…….+mk)+(mr2+mk+12)+(m2+mk+2)+……,+(m2+m+)+mk+ 右式=(m+m2+….…,+mkx+ =(m1+m2+…+mk)2+2mk+(m1+m2 +mk)+ mk+ =(m1+m2+……+mk)2+2mk+1m1+2mk+1m2+….….+2mk+1mk+mk+12 由归纳假设km2+m2+..…+mk)2(m+m+…+my2,以及基本不等式,左 式≥右式,命题成立。 所以4 3）r 个块的有序对相加，和等于 s。r 个块中所含元素的个数相加，和等于 n。 证明思路和过程： 设 A/R 的 r 个等价类集合的元素个数分别是 m1, m2, …, mr。则 m1+m2+… … +mr =n ， m1 2+m2 2+… … +mr 2 =s 。 因 此 ， 问 题 转 换 为 证 明 (m1 2+m2 2+… … +mr 2 )/r(( m1+m2+… … +mr)/r)2，即证明 r (m1 2+m2 2+… … +mr 2 ) ( m1+m2+… … +mr) 2。（可以用数学归纳法进行证明）。 数学归纳法证明：r (m1 2+m2 2+… … +mr 2 ) ( m1+m2+… … +mr) 2。 归纳基础： 当 r=1 时，左式= m1 2，右式= m1 2，左式右式，命题成立。 归纳步骤： 设当 r=k 时，命题成立。即，k (m1 2+m2 2+… … +mk 2 ) ( m1+m2+… … +mk) 2。 则当 r=k+1 时，左式= (k+1) (m1 2+m2 2+… … +mk+12 ) =k(m1 2+m2 2+… … +mk+12 )+ (m1 2+m2 2+… … +mk+12 ) =k(m1 2+m2 2+… … +mk 2 )+kmk+12+(m1 2+m2 2+… … +mk 2 ) + mk+12 =k (m1 2+m2 2+… … +mk 2 )+( m1 2+mk+12 )+ ( m2 2+mk+12 )+……+( mk 2+mk+12 )+ mk+12 右式=( m1+m2+… … +mk+1) 2 =( m1+m2+… … +mk) 2+2 mk+1 ( m1+m2+… … +mk)+ mk+12 =( m1+m2+… … +mk) 2+2 mk+1 m1+2 mk+1 m2+… … +2 mk+1 mk+ mk+12 由归纳假设 k (m1 2+m2 2+… … +mk 2 ) ( m1+m2+… … +mk) 2，以及基本不等式，左 式右式，命题成立。 所以 rsn 2