(1)g是从P(4到P/B)的一个满射。 h∈P(B,则彐x∈P(A),对于b曰,都有f(b)ax,即x为仅由y中各元素在f 作用下的象组成的集合。这样的x总是存在的。所以g是从P4)到P(B的一个 满射。 (2)g是从P)到P(B的一个内射。 b,x2∈P(4),若g(x=g(x)=y,则hex1,fa=g(x)y,而g(xy)=y,所以fa ∈g(x),由g的定义,aex2,所以xgx2,同理xgx,所以x=x。所以g是从 P(4到PB的一个内射 因此,g是从P4到P(B)的一个双射。 2.某一个市镇只有一家旅馆,这个旅馆与通常旅馆没有不同,只是房间数不是 有限而是无穷多间,房间号码为1,2,3,4,……我们不妨管它叫希尔伯特旅 馆。这个旅馆的房间可排成一列的无穷集合(1,2,3,4,…),称为可列集。 有一天,所有房间都住满了。后来来了一位客人,坚持要住房间。旅馆老 板于是引用“旅馆公理”说:“满了就是满了,非常对不起!”。正好这时候,聪 明的旅馆老板的女儿来了,她看见客人和她爸爸都很着急,就说:“这好办,请 每位顾客都搬一下,从这间房搬到下一间”。于是1号房间的客人搬到2号房间, 2号房间的客人搬到3号房间……依此类推。最后1号房间空出来,请这位迟到 的客人住下了。 第二天,希尔伯特旅馆又来了一个庞大的代表团要求住旅馆,他们声称有 可数无穷多位代表一定要住,这又把旅馆经理难住了。老板的女儿再一次来解围, 她说:“您让1号房间客人搬到2号,2号房间客人搬到4号……,k号房间客人 搬到2k号,这样,1号,3号,5号,……房间就都空出来了,代表团的代表都 能住下 第三天,这个代表团每位代表又出新花招,他们想每个人占可数无穷多间 房来安排他们的亲戚朋友,这回不仅把老板难住了,连老板的女儿也被难住了。 (1)现在您担任希尔伯特旅馆的客房经理,您准备采取什么方法解决当前的住宿 问题? (2)后来老板的女儿进了大学数学系。有一天,康托尔教授来上课,他问老板的 女儿:“要是区间[0,1上每一点都占一个房间,是不是还能安排?”也请您 回答康托尔教授的这一问题,并论证。 (15分,第1小题6分,第2小题9分,其中论证为6分) (1)定义双射 f: NXN-N(参考教材68页) (2)[0,1是不可列集(参考教材69页) 3.R是集合A上的等价关系,4=n,|R=。对于A关于R的商集AR,MA/R=r 证明:r22。(16分) *中国科学院计算所2000* 习题解析: R、A和AR三者的基数之间存在什么关系 1)R是集合A上的等价关系→R对A形成的一个划分,这个划分就是商集AR 2)取划分的一个块,若块中元素k个,则该块产生的有序对为k2个3 （1）g 是从 P(A)到 P(B)的一个满射。 yP(B)，则xP(A) ，对于by，都有 f -1 (b)x，即 x 为仅由 y 中各元素在 f -1 作用下的象组成的集合。这样的 x 总是存在的。所以 g 是从 P(A)到 P(B)的一个 满射。 （2）g 是从 P(A)到 P(B)的一个内射。 x1, x2P(A)，若 g(x1)=g( x2)=y，则ax1，f(a)= g(x1)y，而 g( x2)=y，所以 f(a)  g( x2)，由 g 的定义，ax2，所以 x1x2，同理 x2x1，所以 x1=x2。所以 g 是从 P(A)到 P(B)的一个内射。 因此，g 是从 P(A)到 P(B)的一个双射。 2．某一个市镇只有一家旅馆，这个旅馆与通常旅馆没有不同，只是房间数不是 有限而是无穷多间，房间号码为 1，2，3，4，……我们不妨管它叫希尔伯特旅 馆。这个旅馆的房间可排成一列的无穷集合(1，2，3，4，…)，称为可列集。 有一天，所有房间都住满了。后来来了一位客人，坚持要住房间。旅馆老 板于是引用“旅馆公理”说：“满了就是满了，非常对不起！”。正好这时候，聪 明的旅馆老板的女儿来了，她看见客人和她爸爸都很着急，就说：“这好办，请 每位顾客都搬一下，从这间房搬到下一间”。于是 1 号房间的客人搬到 2 号房间， 2 号房间的客人搬到 3 号房间……依此类推。最后 1 号房间空出来，请这位迟到 的客人住下了。 第二天，希尔伯特旅馆又来了一个庞大的代表团要求住旅馆，他们声称有 可数无穷多位代表一定要住，这又把旅馆经理难住了。老板的女儿再一次来解围， 她说：“您让 1 号房间客人搬到 2 号，2 号房间客人搬到 4 号……，k 号房间客人 搬到 2k 号，这样，1 号，3 号，5 号，……房间就都空出来了，代表团的代表都 能住下了。” 第三天，这个代表团每位代表又出新花招，他们想每个人占可数无穷多间 房来安排他们的亲戚朋友，这回不仅把老板难住了，连老板的女儿也被难住了。 (1) 现在您担任希尔伯特旅馆的客房经理，您准备采取什么方法解决当前的住宿 问题？ (2) 后来老板的女儿进了大学数学系。有一天，康托尔教授来上课，他问老板的 女儿：“要是区间[0，1]上每一点都占一个房间，是不是还能安排？”也请您 回答康托尔教授的这一问题，并论证。 （15 分，第 1 小题 6 分，第 2 小题 9 分，其中论证为 6 分） (1) 定义双射 f: NN→N (参考教材 68 页) (2) [0，1]是不可列集(参考教材 69 页) 3．R 是集合 A 上的等价关系，|A|=n，|R|=s。对于 A 关于 R 的商集 A/R，|A/R|=r。 证明：rsn 2。（16 分） /*中国科学院计算所 2000*/ 习题解析： • R、A 和 A/R 三者的基数之间存在什么关系？ 1）R 是集合 A 上的等价关系 R 对 A 形成的一个划分，这个划分就是商集 A/R。 2）取划分的一个块，若块中元素 k 个，则该块产生的有序对为 k 2 个