8.A,B是集合,No=B=N,则4-B 是非判断题(24分,每题6分,其中判断3分,论述3分) 1.设A,B,C,D是任意集合;∫是从A到B的双射,g是从C到D的双射。h AxC→BD,其中对于任意的a,c∈AxC,ha,c)=(u),gc)成立。则h是双射 (真) /*武汉大学1999年试题* (1)证明h是满射。 对于任意的b,d∈BxD,则beB,dD,因为/是从A到B的双射,g是从C到D 的双射,所以存在a∈A,ceC,使得fa=b,g(c)=d成立;即存在la,c)∈Ax,使 得ha,c)=0u),g(c)=(,d成立。所以h是满射 (2)证明h是内射。 对于任意的a,c)eAxC,a,ey)eAxC,若h(,cm)=ha2,c),所以a g(em)=(,g(2)。所以fa)=f(.,ge=g(e)。因为f是从A到B的双射,g 是从C到D的双射,所以a1=a2,c1=c2。则a,c)=a2,c)。所以h是内射。 所以h是双射。 2.设R是A上的二元关系,则t(s(R)=sR) (假) 定理2.12(3) 3.设A,B是集合,若存在A到B的满射,则B≤ 真) 设存在A到B的满射f,对任意b∈B,存在x∈A,ma)=b 而由函数的定义,=b,fa)=b,若b地b,则a和2。则B≤l4l。 4.设A是集合,R是A的幂集P(4)上的二元关系,对所有的S,T∈P(4),(S,TER。 R是偏序关系当且仅当s。 (假) 对于R是A的幂集P(4上的二元关系来说,S≤1,R是偏序关系既不是充分条 件,也不是必要条件 取A={a,b},S={a},T={b}。因为s并且7sS,所以S,D∈R,并且(T,S)∈R; 因为S,R不是反对称的。所以R不是偏序关系。所以s不是充分条件 令R={(,∞,({a},{a})({b},{b},({a,b},{a,b},({a,b},{a})},R是偏序关系。 因为({a,b},{a})∈R,|S7不成立。所以S≤1不是必要条件 综合题(46分) 1.设有双射fA→B,试构造从P(4到PB的一个双射,并证明之。(15分,给 出双射5分,证明10分) 构造性证明* 解:构造函数g:P4PB),欧eP团4),令g=y,满足:hax,都有fa)ey, 且对于e,都有f(b)ex,即y为仅由x中各元素在∫作用下的象组成的集合 证明:g是从P4到P/B)的一个双射2 8. A, B 是集合，0=|B|<|A|=，则|A-B|=  。 二、是非判断题（24 分，每题 6 分，其中判断 3 分，论述 3 分） 1．设 A, B, C, D 是任意集合；f 是从 A 到 B 的双射，g 是从 C 到 D 的双射。h: AC→BD，其中对于任意的(a, c)AC, h((a, c))=(f(a), g(c))成立。则 h 是双射。 （ 真 ） /*武汉大学 1999 年试题*/ （1）证明 h 是满射。 对于任意的(b, d)BD, 则 bB, dD, 因为 f 是从 A 到 B 的双射，g 是从 C 到 D 的双射，所以存在 aA, cC, 使得 f(a)= b, g(c)=d 成立；即存在(a, c)AC, 使 得 h((a, c))=(f(a), g(c))= (b, d)成立。所以 h 是满射。 （2）证明 h 是内射。 对于任意的(a1, c1)AC, (a2, c2)AC, 若 h((a1, c1))=h( (a2, c2))，所以(f(a1), g(c1))= (f(a2), g(c2))。所以 f(a1)= f(a2), g(c1)= g(c2)。因为 f 是从 A 到 B 的双射，g 是从 C 到 D 的双射，所以 a1=a2, c1=c2。则(a1, c1)= (a2, c2)。所以 h 是内射。 所以 h 是双射。 2．设 R 是 A 上的二元关系，则 t(s(R))=s(t(R))。 （假） 定理 2.12(3)。 3．设 A, B 是集合，若存在 A 到 B 的满射，则|B||A|。 （ 真 ） 设存在 A 到 B 的满射 f，对任意 bB，存在 xA，f(a)=b。 而由函数的定义，f(a1)=b1，f(a2)=b2，若 b1b2，则 a1a2。则|B||A|。 4．设 A 是集合，R 是 A 的幂集 P(A)上的二元关系，对所有的 S, TP(A)，(S, T)R。 R 是偏序关系当且仅当|S||T|。 （假） 对于 R 是 A 的幂集 P(A)上的二元关系来说，|S||T|，R 是偏序关系既不是充分条 件，也不是必要条件。 取 A={a, b}, S={a}, T={b}。因为|S||T|并且|T||S|，所以(S, T)R，并且(T, S)R； 因为 ST，R 不是反对称的。所以 R 不是偏序关系。所以|S||T|不是充分条件。 令 R={(, ), ({a}, {a}), ({b}, {b}), ({a, b}, {a, b}), ({a, b}, {a})}，R 是偏序关系。 因为({a, b}, {a})R，|S||T|不成立。所以|S||T|不是必要条件。 三、综合题（46 分） 1．设有双射 f: A→B，试构造从 P(A)到 P(B)的一个双射，并证明之。（15 分，给 出双射 5 分，证明 10 分） /**构造性证明**/ 解：构造函数 g: P(A)→P(B)，xP(A)，令 g(x)=y，满足：ax，都有 f(a)y， 且对于by，都有 f -1 (b)x，即 y 为仅由 x 中各元素在 f 作用下的象组成的集合。 证明：g 是从 P(A)到 P(B)的一个双射