现在，再把第五章中的向量长度的概念推广为 定义2非负实数V称为向量u长度，记为u。 由定义1中的条件4知非零向量的长度恒为正实数。而由命题1的(3)知零向量的长 度为0。除此之外，还有 命题2对任意实数a及u∈V,有 laul lallul, 其中lal表a的绝对值。 由此 laul=V(au)(au)=V(aa)(wu)=Vaa.Vuti=lallul, 即知。 定理1对欧氏空间中的任意二向量4，恒有 lu≤a, 而等号成立的充分必要条件是4，线性无关。 证明当4，线性相关时，其中一个向量必可由另一个向量线性表示，不防设=a,于 是 luul I(av)ul=lallvul=lallullvl lullul laullul lallullul luv lullol 当，线性无关时，对任意负数均有一x≠日，从而 (u-xv)(u-xv)>0 并即 (uv)z2-2(w)x+uu>0 现在，再把第五章中的向量长度的概念推广为 定义 2 非负实数 称为向量 长度，记为 。 由定义 1 中的条件 4 知非零向量的长度恒为正实数。而由命题 1 的（3）知零向量的长 度为 0。除此之外，还有 命题 2 对任意实数 及 ，有 其中 表 的绝对值。 由此 即知。 定理 1 对欧氏空间 中的任意二向量 恒有 而等号成立的充分必要条件是 线性无关。 证明 当 线性相关时，其中一个向量必可由另一个向量线性表示，不防设 ，于 是由 知 当 线性无关时，对任意负数均有 ，从而 并即