秩的概念是P上矩阵的重要概念.同样在A-矩阵中也是一个重要的概念 定义2A()∈P×n.如果A(入)中有一个T级子式不为零,而所有T+1级子式(如果 有T+1级子式的话)全为零,则称A(入)的秩为T.零矩阵0的秩为0.A(入)的秩记为r(4(入) 或 rank a(入) 若A(X)∈PN]可逆,则r(4(入A)=7 与P上矩阵不同之处是r(A()=7,A(入)不一定可逆.如r(AIn)=m,但AIn不可逆 初等变换与初等矩阵对于P上矩阵的研究有重要作用,对入-矩阵也有重要作用 以下变换称为入-矩阵的初等变换 1.将A(入)的某行(列)乘以非零常数 2.将A()的某行(列)加上另一行(列)的q()倍,这里g2(入)∈P[A 3.将A(入)的两行(列)互换 将单位方阵In经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵,于是,有三种类型的初等矩阵 P((c),c∈P,c≠0;P(,j(φ(λ),P(,j) 初等矩阵可逆,逆矩阵仍为初等矩阵 P(i(c)-1=P(i(c-1) P(,j(y()-=P(,j(-(入), P(,j) 若A(X)∈PN]n.用一个m阶初等矩阵左乘A(入,就是将A()进行相应的初等行变换 用一个7阶初等矩阵右乘A(A),就是将A(A)进行相应的初等列变换 定义34(入),B(从)∈P[m×n.如果经过一系列初等变换可将A()化为B(A),则称A(入) 与B(入)等价(相抵).记为A(A)~B(A) 由于初等变换与初等矩阵的关系,我们知A()~B(X)当且仅当存在m阶初等矩阵P1,P2 3及阶初等矩阵Q1,Q2,…,Qt使得 B()=PP2. PsA()Q1Q2. Qt 从这里立即可知等价(相抵)有下列性质 1.反身性:4()~A(入) 2.对称性:A(A)~B(A),则B(入)~A(入) 3.传递性:若A()~B(入),B()~C(入),则A()~C(入) 4.A(入)~B(A),则A(A)元素为B(A)的元素的(多项式)组合;B(A)的元素为A(X)的 元素的组合 5.A(入)~B(A),则r(4(入)=r(B() 我们知道,对于P中矩阵,性质5的逆命题也是对的.但对于入-矩阵却不然了.例如MIn 与In的秩均为7,但它们不等价 为了讨论两个λ-矩阵何时等价,我们可用初等变换将入-矩阵化为比较简单的形式.这种方法我们 在定理3.4.3及定理4.6.2的证明中已经运用过了'/ ￾ 3'/$% ￾ <3'/   ￾ ￾￾￾￾
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