131弦的横振动方程 §13.1弦的横振动方程 有一个完全柔软的均匀弦,沿水平直线绷紧,而后以某种方法激发,使弦在同一个平面上作 小振动.列出弦的横振动方程 取弦的平衡位置为x轴,且令端点坐标为x=0与x=l 设u(x,t)是坐标为x的弦上一点在t时刻的(横向)位移.在弦上隔离出长为dx的一小段(弦 元).弦元的弦长足够小,以至于可以把它看成是质点 分析弦元受力:它在两个端点x及x+dx处受到张力的作用 62 图13.1弦的横振动 因为弦是完全柔软的,故只受到切向应力—张力T的作用,而没有法向应力.同 时,略去了重力的作用 因此有 (Tsin 0)x+dz-(Tsin 0)x= dm (T cos 0)x+dr-(T cos 0)x=0 小振动近似:x+dx与x两点间任一时刻横向位移之差u(x+dr,t)-u(x,t),与dr 相比是一个小量,即 lau/az <1 在小振动近似下, sin6≈tan6 (略去了的三级项 Cos6≈1 (略去了的二级项Wu Chong-shi §13.1 ❻❼❽❾❿✟✠ ✌ 2 ✍ §13.1 ➀➁➂➃➄➅➆ ➇➈➉➊➋➌➍➎➏➐➑✧➒➓➔→➣↔↕✧➙➛➜➝➞➟➠➡➢✧➤➑➥➦➈➉➔➧➨➩ ➫➭➯❉➲➳➑➎➵➭➯➟➸❉ ➺➻➼➽➾➚➪➶ x ➹ ✧➘➴➷➬➮➱➶ x = 0 ✃ x = l ❉ ❐ u(x, t) ❒ ➮➱➶ x ➼➻❮❰➬Ï t ÐÑ➼ (Ò Ó) ➚Ô❉Ï➻❮ÕÖ×Ø➶ dx ➼❰ÙÚ (➻ Û ) ❉➻Û➼➻ØÜÝÙ✧ÞßàáÞâãäå❒æ➬❉ çè➻ÛéêëãÏìí➷➬ x î x + dx ï éðñê➼òó❉ ô 13.1 õö÷øù tan θ1 =  ∂u ∂x  x , tan θ2 =  ∂u ∂x  x+dx ú ❢ûr ➊➋➌➍ ✻✧ü ýþÿ￾ ✁✂ ❑ ✄ ❑ T ✻ ❡☎ ✧✆✝✿❺ ✁✂ ❑❉✞ ❀✧✟✠ ✡☛ ❑✻❡☎ ❉ ☞✌✍ (T sin θ)x+dx − (T sin θ)x = dm ∂ 2u ∂t2 , (T cos θ)x+dx − (T cos θ)x = 0. ➫➭➯✎✏ ë x + dx ❄ x ✑✒ ✓✔⑩❀✕✖ ✁✗✘✙✚ u(x + dx, t) − u(x, t) ✧❄ dx ✛✜r ⑩✢✣✤✧✥ |∂u/∂x|  1. ÏÙ✦✧★✩✪✧ sin θ ≈ tan θ = ∂u ∂x ✫✬✭∂u ∂x➼✮✯✰ , cos θ ≈ 1 ✫✬✭∂u ∂x➼✱✯✰