由于a1,…,a。线性无关,故ls,…,l不全为零.设第一个不为零的是lh,则h≥s.从而。可以 由a1,…,as,i+1;…,线性表示.令B,=n,A1=1,…,B,-1=月-1,A,+1=月+1… B:=B12,则 {a1,…,as,A,+1…,Ba}{61,…,A} 由归纳法原理可知结论成立 3.设向量组a1,a2,…,a的秩为r,aa1,Oa2,…,a1n是它的一个部分组证明:如果a1,a2,…,a 可由a1,a2,…,a,线性表出,则a1,aa2;……,a,是a1,a2,…,as的一个极大线性无关组 证明:作为向量组的部分组,a1…,ai,当然可以被a1,…,as线性表示.因此这两个向量组等 价,从而有相同的秩r.于是由命题1.9可知向量组a 1n线性无关.由推论1.8可知它是极大线性 无关组 4.设a1,a2,……,at与a1,a2,……,at,at+1,at+2,……,as有相同的秩证明:a1,a2,……,at与a1,a2 s等价 证明:根据假设,有 at)sL(a1,…,at,at+1 s) 又因这两个向量组有相同的秩,因此它们张成的线性子空间有相同的维数,从而相等再利用命题1.1, 可知这两个向量组线性等价 5.对下列向量组,将a1扩充成向量组的一个极大无关组: (1)a1=(1,-1,2,4),a2=(0,3,1,2),a3=(3,0,7,14),a4=(1,-1,2,0),a5=(2,1,5,6) (2)a1=(1,-1,0,1,1),a2=(2,1,3,-1,0),a3=(3,0.3,0,1),a4=(1,-1,1,-1,1),a5= 1,-5,-6,5,3),a6=(2,1,2,1,0) 解:(1)a1,a2,a4 (2)a1,a2,a4 6.设向量组{a1,a2,…,a},{1,B2,…,A},{a1;a2,…,as,1,B2,…B}的秩分别是r,r2,r3 证明: max{r1,r2}≤r3≤r1+r2 证明:由于向量组{α1,,…,a},{61,…,A}都可由向量组{a1,…,as,B1,……,t}线性表示,故 从而 nr2}≤r 设a…,an是a1,…,as的一个极大线性无关组,1…,Bn是,…,A的一个极大线性无 关组,则 {a1……:as,月1,…,A}y{an1,…,an,n1,…,n} 所以 k{aa;…,ain1,/n1…,n}≤7+2. 7.设向量组{a1,a2,……,as},{1,B2,…,B},{a1+1,a2+B2,…,as+B}的秩分别是 r3.证明:r3≤r1+r2 证明:因为{a1+1,…,as+B}可由{a1,…,a,B1,…,}线性表示,因此它的秩 73≤rank{a1,…,as,1,…,Bs}≤rank{a1,……,as}+rank 3}=71+r2N< α1, · · · , αs t&,*, ! ls, · · · , lt U3"o. =HfU"o lh, J h > s. C% βjh >$ N α1, · · · , αs, βjh+1 , · · · , βjt t&. I βis = βjh , βi1 = βj1 , . . . , βis−1 = βjs−1 , βis+1 = βjs+1 , . . . , βit = βjt , J {α1, · · · , αs, βis+1 , · · · , βit } ∼= {β1, · · · , βt}. NPDK>"#*+. 3.  B α1, α2, · · · , αs  " r, αi1 , αi2 , · · · , αir 8Hf|B. ST:  α1, α2, · · · , αs >N αi1 , αi2 , · · · , αir t&%, J αi1 , αi2 , · · · , αir  α1, α2, · · · , αs Hf;t&,*B. : /" B|B, αi1 , · · · , αir b>$I α1, · · · , αs t&. !Ow7f BV , C%GeC r. <N7a 1.9 > B αi1 , · · · , αir t&,*. N^# 1.8 >8;t& ,*B. 4.  α1, α2, · · · , αt B α1, α2, · · · , αt, αt+1, αt+2, · · · , αs GeC . ST: α1, α2, · · · , αt B α1, α2, · · · , αs V. : =>1, G L(α1, · · · , αt) ⊆ L(α1, · · · , αt, αt+1, · · · , αs), Q!w7f BGeC , !O8.*t&￾pqGeCF, C%eV. 37a 1.1, >w7f Bt&V. 5.  B, v α1 0* BHf;,*B: (1) α1 = (1, −1, 2, 4), α2 = (0, 3, 1, 2), α3 = (3, 0, 7, 14), α4 = (1, −1, 2, 0), α5 = (2, 1, 5, 6); (2) α1 = (1, −1, 0, 1, 1), α2 = (2, 1, 3, −1, 0), α3 = (3, 0, 3, 0, 1), α4 = (1, −1, 1, −1, 1), α5 = (−1, −5, −6, 5, 3), α6 = (2, 1, 2, 1, 0). : (1) α1, α2, α4. (2) α1, α2, α4. 6.  B{α1, α2, · · · , αs}, {β1, β2, · · · , βt}, {α1, α2, · · · , αs, β1, β2, · · ·, βt} r1, r2, r3. ST: max {r1, r2} 6 r3 6 r1 + r2. : N< B {α1, , · · · , αs}, {β1, · · · , βt} m>N B {α1, · · · , αs, β1, · · · , βt} t&, ! r1 6 r3, r2 6 r3, C% max{r1, r2} 6 r3.  αi1 , · · · , αir1  α1, · · · , αs Hf;t&,*B, βj1 , · · · , βjr2  β1, · · · , βt Hf;t&, *B, J {α1, , · · · , αs, β1, · · · , βt} ∼= {αi1 , · · · , αir1 , βj1 , · · · , βjr2 }, #$ r3 = rank{αi1 , · · · , αir1 , βj1 , · · · , βjr2 } 6 r1 + r2. 7.  B {α1, α2, · · · , αs}, {β1, β2, · · · , βs}, {α1 + β1, α2 + β2, · · · , αs + βs}   r1, r2, r3. ST: r3 6 r1 + r2. : !" {α1 + β1, · · · , αs + βs} >N {α1, · · · , αs, β1, · · · , βs} t&, !O8 r3 6 rank{α1, · · · , αs, β1, · · · , βs} 6 rank{α1, · · · , αs} + rank{β1, · · · , βs} = r1 + r2. · 2 ·