lm f(a,)=f() lm f(b,=f(s) →J(5sg(sf(),f(5)=g(5).5为方程(x)=g(x)在区间 a,b)内的实根 例3试证明:区间[0,1]上的全体实数是不可列的 证(用区间套技术,具体用反证法)反设区间[0,1]上的全体 实数是可列的,即可排成一列: 把区间[0,1三等分,所得三个区间中至少有一个区间不含列,记该区间为 级区间[a1,1].把区 间[a1,b]三等分,所得三个区间中至少有一个区间不含x2,记该区间为二级区 间[a2,b2] 依此得区间套([a,b]),其中区间[a,a2]不含x,x…x,由区间套定 使对n,有 5∈[a2,an].当然有5∈[0,1]. 但对n,有xn[a,a]而 ∈[a,a],→x≠5,矛盾 课(4时) 实数基本定理互证举例 例4用“区间套定理”证明“单调有界原理” 证设数列(x)递增有上界.取闭区间[a1,1],使不是(x2)的上 界,与1是(xn)的上界.易见 在闭区间[a,b1]内含有数列(x)的无穷多项,而在[a1,1]外仅含有(x)的 有限项.对分[4,的],取, , . 为方程 在区间 内的实根. 例 3 试证明: 区间 上的全体实数是不可列的 . 证 ( 用区间套技术, 具体用反证法 ) 反设区间 上的全体 实数是可列的,即可排成一列: 把区间 三等分，所得三个区间中至少有一个区间不含 ，记该区间为 一级区间 . 把区 间 三等分，所得三个区间中至少有一个区间不含 ，记该区间为二级区 间 . …… . 依此得区间套 , 其中区间 不含 . 由区间套定 理, , 使对 , 有 . 当然有 . 但对 有 而 , . 矛盾. 习 题 课 （ 4 时 ） 一． 实数基本定理互证举例： 例 4 用“区间套定理”证明“单调有界原理”. 证 设数列 递增有上界. 取闭区间 , 使 不是 的上 界, 是 的上界. 易见 在闭区间 内含有数列 的无穷多项, 而在 外仅含有 的 有限项. 对分 , 取