为什么县学习能性才覆 大学数学实验 的教值解法 Experiments in Mathematics 许多实际问题归结为线性(代数)方程组 机械设备、土建结构的受力分析 经济计划 实验5线性代数方程组的数值解法 输电网络、管道系统的参数计算企业管理 大型的方程组需要有效的数值解法 半大歇教科系 教值解法的稳定性和收敛性问题需要注意 实验5的走內内率 线性方程组的一般形式、两类解法 anx1+a2x2+…+ax=b 1.两类数值解法: a2x+a2x2+…+a2x,=b2 或AX=b 直接方法;选代方法 ax.+ax.+…+ax=b 2.超定线性方程组的最小二乘解 经过有限次算术迳算求出精确解(实际上 3.线性方程组数值解法的 MATLAB实现 由于有舍入误差只能得到近似解) 高 (GBu8)消元法及与它密切相关的矩阵UU分解 4.实际问题中方程组的数值解 选代法从初始解出发,根据设计好的步骤用次 求出的近似解逼近精确解 雅可比(J8cobi 选代法和高斯一塞德尔( Gauss-Seide1)选代法 (学静学实鉴 学学实纷 直接法一高斯消元法 直接法-列主元素消元法 a1x1+a1x,+…+anx 高斯消元法条件 a2x2+…+a2xn=2 ak(绝对值)很小时, +ax,= 过 用它作除数会导致舍入误 ami. 差的很大增加 qx1+ax2+……+amxn=b +……+ak)x=kk) 解￥ amx,t++. 办法 条件 过 最大的一个(列主元) 程 将列主元所在行与第k行交换后,再按上面的高斯消元 (k=1,2,…,n) 进行下去,称为列主元素消元法。1 大学数学实验 Experiments in Mathematics 实验5 线性代数方程组的数值解法 清华大学数学科学系 • 许多实际问题归结为线性（代数）方程组 • 大型的方程组需要有效的数值解法 • 数值解法的稳定性和收敛性问题需要注意 为什么要学习线性方程组 的数值解法 机械设备、土建结构的受力分析 输电网络、管道系统的参数计算 经济计划 企业管理 3. 线性方程组数值解法的MATLAB实现 4. 实际问题中方程组的数值解。 1. 两类数值解法: 直接方法；迭代方法 实验5的主要内容 2. 超定线性方程组的最小二乘解 线性方程组的一般形式、两类解法 直接法 经过有限次算术运算求出精确解（实际上 由 于 有 舍 入 误 差 只 能 得 到 近 似 解 ） ---- 高 斯 （Gauss）消元法及与它密切相关的矩阵LU分解 迭代法 从初始解出发，根据设计好的步骤用逐次 求出的近似解逼近精确解 ---- 雅可比（Jacobi） 迭代法和高斯—塞德尔（Gauss—Seidel）迭代法 n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = L LL L L 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 或 AX=b 直接法---高斯消元法 (2) (2) 2 (2) 2 (2) 2 (2) 2 2 (2) 22 (1) 1 (1) 2 1 (1) 1 12 (1) 11 n nn n n n n n n a x a x b a x a x b a x a x a x b + + = + + = + + + = L LL L L ( ) ( ) ( 1) 1 ( 1) 1 1, ( 1) 1, 1 (2) 2 (2) 2 2 (2) 22 (1) 1 (1) 2 1 (1) 1 12 (1) 11 n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n a x b a x a x b a x a x b a x a x a x b = + = + + = + + + = − − − − − − − − LL LL LL 消 元 过 程 回 代 过 程 ( 1,2, , ) 0 ( ) k n a k kk = L ≠ 条件 直接法-列主元素消元法 0( 1,2, , ) ( ) a k n k 高斯消元法条件 kk ≠ = L 解决 办法 ( , ) ( ) a i k n k 选 ik = L 最大的一个（列主元） 将列主元所在行与第k行交换后, 再按上面的高斯消元 法进行下去，称为列主元素消元法。 (绝对值 )很小时， 用它作除数会导致舍入误 差的很大增加 (k) kk a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k n n k k nn k nk k n k k k kn k kk a x a x b a x a x b + + = + + = LL LL LL