直接法一高斯消元法的矩阵表示 直接法一高斯消元法的矩阵表示 高斯消元法的第一次消元 第二次消元相当于再左乘单位下三角阵M a11+a12x2+……+a1nx ax+ax2+…+amxn= M4x=Mb口M2MAx=M2Mb a,x,+anx+-+a, x=b a2x2+…+a23xn=b2 最终消元形式M。…M2M1Ax=Mn…MMb 记Mn1…M2M1 an1x1+a2x2+…+amxn=b anx2+…+axn=b M为单位下三角阵 相当于方程 -a/a1 Ux= Mb AX=b两边 左乘单位下 M, Ax= M, b U为上三角阵,且 ap-L- r+ap=, =b el 三角阵M1 对角元素a()≠0 x=U-Mb 直油-矩I分解 直油-矩陈分解 若A可逆,但顺序主子式D≠0不成立 0已A的顺序主子式D (k=1,2,…,n) 消元中会遇到某个an=0,但必存在aA)≠0=k+1…n) 高斯消元法通过左乘M使MA=U记L=M,L为 第行与第A行交换日乘以初等交换阵 M单位下三角阵,U上三角阵 单位下三角阵 若A可逆且顺序主子式不为零,则A可分解为一个 P~交换阵(单位阵经若干次行交换) 单位下三角阵和一个上三角阵U的积A=LU 若A可逆,则存在交换阵P使PA=LU 这种分解是唯一的,称矩阵LU分解。 L为单位下三角阵,U为上三角阵 学学实 (大学数学实验) 直接法一对称正定矩阵的分解 直接法一三对角矩阵的L解 正定对称矩阵A可分解成对角元素为正的 在三次样条插值和其它一些计算中,会遇到求解系数矩阵A具有 下三角阵L与它的转置矩阵之积,即 对角形式的线性方程组,这时A的LU分解(假定分解存在) 可表为: 或A=LDL 4,h c 其中L是单位下三角阵,D是元素为正的对角阵 这种分解称三角分解或 Cholesky分解 L和U的计 算公式为 =b-l-1t=2,3…n2 直接法 - 高斯消元法的矩阵表示 相当于方程 AX=b 两 边 左乘单位下 三角阵M1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = / 1 / 1 1 (1) 11 (1) 1 (1) 11 (1) 21 1 a a a a M n LL O n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = L LL L L 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 高斯消元法的第一次消元 (2) (2) 2 (2) 2 (2) 2 (2) 2 2 (2) 22 (1) 1 (1) 2 1 (1) 1 12 (1) 11 n nn n n n n n n a x a x b a x a x b a x a x a x b + + = + + = + + + = L LL L L M1Ax = M1b 最终消元形式 M n−1LM 2M1Ax = M M M b n−1L 2 1 直接法 - 高斯消元法的矩阵表示 第二次消元相当于再左乘单位下三角阵M2 M1Ax = M1b M2M1Ax = M2M1b 1 21 , Mn MM M M 记 − L = 为单位下三角阵 记 MA =U Ux = Mb 0 , ( ) ≠ k kk a U 对角元素 为上三角阵 且 ( ) ( ) ( 1) 1 ( 1) 1 1, ( 1) 1, 1 (2) 2 (2) 2 2 (2) 22 (1) 1 (1) 2 1 (1) 1 12 (1) 11 n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n a x b a x a x b a x a x b a x a x a x b = + = + + = + + + = − − − − − − − − LL LL LL x U Mb −1 = 直 接 法 - 矩 阵 LU 分 解 高斯消元法通过左乘M,使MA=U M单位下三角阵，U上三角阵 记 L=M-1，L为 单位下三角阵 若A可逆且顺序主子式不为零，则A可分解为一个 单位下三角阵L和一个上三角阵U的积 A=LU。 这种分解是唯一的，称 矩阵LU分解。 ( 1,2, , ) 0 ( ) k n a k kk = L ≠ 0, ( 1, ) 1 11 1 k n a a a a A D k kk k L L M M L 的顺序主子式 = ≠ = 若A可逆，则存在交换阵 P 使 PA=LU L为单位下三角阵，U为上三角阵。 第i行与第k行交换 0 0( 1, ) ( ) ( ) a a i k n k ik k 消元中会遇到某个 kk = ，但必存在 ≠ = + L 直 接 法 - 矩 阵 LU 分 解 若A可逆，但顺序主子式 D ≠ 0不成立 乘以初等交换阵 MA =U ⇒ MPA =U P~交换阵（单位阵经若干次行交换） 直接法 - 对称正定矩阵的分解 正定对称矩阵 A 可分解成对角元素为正的 下三角阵 L 与它的转置矩阵之积，即 T A = LL T 或 A = LDL 其中 L 是单位下三角阵，D 是元素为正的对角阵。 这种分解称三角分解或 Cholesky 分解。 直接法 - 三对角矩阵的LU分解 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − − − − − n n n n n n n n n u u c u c u c l l l a b a b c a b c b c A 1 1 2 2 1 1 3 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 O O O O O O O 1 1 1 1 2,3, , 2,3, , i i i i i ii u b a l in u u b lc i n − − ⎧ = ⎪ ⎪ ⎨ = = ⎪ ⎪⎩ =− = L L 在三次样条插值和其它一些计算中，会遇到求解系数矩阵A具有 三对角形式的线性方程组，这时A的LU分解（假定分解存在） 可表为: L和U的计 算公式为