A x=b 大学静学实扮 直接法一三对角矩阵的L解 真染-误基分「1「x 线性方程组Ax=通过等价的两个三角形 X+x2=2 11.01x2 方程组Ly=/和Ux=y求解如下 x1+10lx=2 y=f x+1.01x2=2.01 y=f-y,i=2…n x对b的扰动 jx x=(y-cx)l4,i=n-1-…1 Ax=b,如果解x对b或A的扰动敏感,就称方程组是 求解三对角形方程組的追赶法 病态的,也称系数矩阵A是病态的 向量和矩阵的救底量向量、绳阵大小的量指 条件敷与误差分析Ax=bA|s4| 向量范数设x=(x,…xn),范数记作| A(x+x)=b+荡口Aox=b 最常用的向量范数是2-范数2=(x+ 日科H网 1-范数风=x+…+∞-范数|L=max(…|x |4叫|≥|4 矩阵范款设A=(an)nn,范数记作|4 ‖北l= YmaNA)2-范数max表示最大特征根 1Ah=maxa(-范数)AL2=maxl(∞-范数 定义的条件数为Cond(4)=|4-1|4 A的条件数越大,(由的扰动引起的)x的误差可能越大 量和细降花的幅亭|4≤|4 (学静学实鉴 (大学数学实验) 条件敷与误差分析 选代法一一个例子 2)设A有扰动6A,分析x的误差8x x1=-0.3x2-0.x3+1.4 (A+SA(x+ Sx)=b 0.lx1-0.3x+14 cond(a) k=0,1,2 A的条件数越大,(由A的扰动引起的)x的误差越大 x3(k+)=-01x)-03x2()+14 x的(相对)误差不超过b的(相对)误差的ConA)倍, x0)=x0)=0x=1.4,x2=0.5,x 也大致上是A的(相对误差的Con4)倍 x1)=0.9906x=09645x4=0 条件教大的矩阵是病态矩阵 精确解x1=x2=x3=13 1 1 1 1 , 2, , / ( )/ , 1, ,1 i i ii n nn i i ii i y f y f ly i n x yu x y cx u i n − + ⎧ = ⎨ ⎩ =− = ⎧ = ⎨ ⎩ = − =− L L 线性方程组Ax=f可通过等价的两个三角形 方程组Ly=f和Ux=y求解如下 : 直接法 - 三对角矩阵的LU分解 求解三对角形方程组的追赶法 直接法-误差分析 （1,1） 1.01 2.01 1 2 x + x = x2 2 x 0 2 1 1.01 2 2 1 2 1 2 + = + = x x x x Ax = b，如果解 x 对 b 或 A 的扰动敏感，就称方程组是 病态的，也称系数矩阵 A 是病态的。 A x = b ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 2 x ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 1 x ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 2.01 2 b ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 2 2 1 1.01 1 1 2 1 x x x对b的扰动 敏感 (2,0) 向量和矩阵的范数 度量向量、矩阵大小的数量指标 向量范数 最常用的向量范数是 2-范数 2 2 1/ 2 2 1 ( ) n x = x +L+ x x x x x T 设 = ( 1 ,L n ) ，范数记作 n − x = x +L+ x 1 1 1 范数 矩阵范数 设 A = (aij ) n×n，范数记作 A ||A||2= max(A A) 2 −范数 T λ λmax 表示最大特征根 = ∑ −范数） = || || max (1 1 1 n i ij j A |a | = ∑ ∞ −范数） = || ||∞ max ( 1 n j ij i A |a | max( , ) 1 n ∞ − x = x L x 范数 ∞ 向量和矩阵范数的相容性条件 Ax ≤ A ⋅ x A(x + δx) = b + δb Aδx = δb b ≤ A ⋅ x b b A A x δx δ ≤ ⋅ ⋅ −1 1）设b有扰动 δb，分析x的误差 δx A的条件数越大,(由b的扰动引起的)x的误差可能越大 条件数与误差分析 Ax = b Ax ≤ A ⋅ x δx A δb −1 = δx ≤ A ⋅ δb −1 x ≥ b / A 1 A Cond A A A ( ) − 定义 的条件数为 = ⋅ b b cond A δ = ( ) ( A + δA)( x + δx) = b x的(相对)误差不超过b的(相对)误差的Cond(A)倍, 也大致上是A的(相对)误差的Cond(A)倍。 条件数与误差分析 2）设A有扰动 δA，分析x的误差 δx Ax = b A的条件数越大,(由A的扰动引起的)x的误差越大 A A cond A A A A A x δx δ δ ( ) 1 ≅ ⋅ ⋅ = − 条件数大的矩阵是病态矩阵 迭代法 --- 一 个 例 子 1 23 1 23 12 3 10 3 14 2 10 3 5 3 10 14 x xx x xx xx x + + = − + =− ++ = 0.1 0.3 1.4 0.2 0.3 0.5 0.3 0.1 1.4 ( ) 2 ( ) 1 ( 1) 3 ( ) 3 ( ) 1 ( 1) 2 ( ) 3 ( ) 2 ( 1) 1 = − − + = + + = − − + + + + k k k k k k k k k x x x x x x x x x 0 (0) 3 (0) 2 (0) 1 x = x = x = k = 0,1,2,L 0.9906, 0.9645, 0.9906 (4) 3 (4) 2 (4) x1 = x = x = 0.1 0.3 1.4 0.2 0.3 0.5 0.3 0.1 1.4 3 1 2 2 1 3 1 2 3 = − − + = + + = − − + x x x x x x x x x 1.4, 0.5, 1.4 (1) 3 (1) 2 (1) x1 = x = x = 精确解 x1 = x2 = x3 = 1