·502· 工程科学学报，第40卷，第4期 控制律为 故 u(t）=-YX-x(t）=Kr(t) (8) (△A-△BK)TP+P(△A-△BK)< 证明：由引理1可知闭环系统(5)鲁棒保性能 L(A4-△BK)T(△A-△BK)+sP (16) 的充分必要条件是式(6)成立，在式(6)的左右分别 乘以P-1得到 又因为 P-1(A。-BK)T+(A。-BK)P-1+eDDF+ △AT△A+(△BK)T(△BK)< IP-1(E -E2K)T(E-EK)+ -(AP+PA+Q+KRK+P)(17) P-OP+P-KRKP-<0 (9) 根据Hermite矩阵性质，式(17)成立当且仅当 再令P-1=X,KP-1=Y,应用引理Schur补即可得 A(M)=A(△AT△A+(△BK)T(ABK)+ 到上面的线性矩阵不等式(linear matrix inequality, (AP+PA+Q+KRK+P))<0(18) LMI). 又由于 为证明J≤r(P),取Lyapunov函数V(x(t))= A(M)）≤入（△AT△A)+Am【(△BK)T(△B]+ x'(t)Px(t),对不确定闭环系统可得 V=iPx +xPi =xAPx +PAx A（号(A'P+PA+0+KRK+sP)）≤ xT [(AP+PA)]x (10) o(△A)+o（△BK)- 由引理1可知7<-x(PDD'P+EE+Q+ （-号(A'P+PA+Q+K'RK+eP) (19) KRKx.故 再由式(17)可得 t=v(a)-v≤-r'(PDD'P+ -(ATP+PA+Q+KRK+P)>0(20) 1EE+Q+KRK)x()dt (11) 所以 再由定义(1)可知V(∞)=0.因此 Anm（-(A'P+PA+0+K'RK+eP)）= JE(V(xo))=E(xoPxo)=tr(P) (12) 证闭. O=（-号(A'P+PA+0+KRK+sP)） 定理2对于不确定性系统(1)和性能指标 (21) (2),若存在线性反馈(4)，使得任意非结构不确定 性△A和△B均有 假设不确定矩阵为△4= ∑kwA,AB=∑kB, 因此，由式(17)到(21)即可证明该定理. 三城o2(aM)+ ko2（AB)< 由此可知，要使得鲁棒保性能控制获得最大的 (-号(A'P+PA+0+K'RK+eP)） 鲁棒界，即等价于要使得 (13) o=（-号(A'P+PA+0+KRK+sP)） 则不确定闭环系统(5)是鲁棒保性能的，式(13)为 (22) 保性能控制鲁棒界.其中，￡>0为待定常数，A= 获得最大值. A。-B,K,(X)和o(X)分别为矩阵X的最大 2 改进人工鱼群优化鲁棒保性能权值矩阵 和最小奇异值，P>0为保性能矩阵 的提出 证明由定义2可得 (△A-△BK)T+(△4-△BK)< 2.1改进人工鱼群算法 -(AP+PA+0+KRK) (14) 2.1.1自适应视野与步长的人工鱼群算法 因为对任意实矩阵X和Y以及任意常数ε>0，有不 人工鱼群算法是一种通过构造人工鱼，模仿鱼 等式 群生存方式中的觅食、聚群、追尾等主要行为，从而 x'y+Yr'x≤Lx'x+eYrY 解决实际优化问题的一种算法.其思路是针对每个 (15) 人工鱼个体实现局部寻优，然后不断迭代更新，最终工程科学学报，第 40 卷，第 4 期 控制律为 u( t) = － YX － 1 x( t) = Kx( t) ( 8) 证明: 由引理 1 可知闭环系统( 5) 鲁棒保性能 的充分必要条件是式( 6) 成立，在式( 6) 的左右分别 乘以 P － 1得到 P － 1 ( A0 － B0K) T + ( A0 － B0K) P － 1 + εDDT + 1 ε P － 1 ( E1 － E2K) T ( E1 － E2K) + P － 1QP + P － 1KT ＲKP － 1 ＜ 0 ( 9) 再令 P － 1 = X，KP － 1 = Y，应用引理 Schur 补即可得 到上面的线性矩阵不等式( linear matrix inequality， LMI) ． 为证明 J≤tr( P) ，取 Lyapunov 函数 V( x( t) ) = xT ( t) Px( t) ，对不确定闭环系统可得 V · = x ·T Px + xT Px· = xT APx + ξT PAx = xT ［( AP + PA) ］x ( 10) 由引理 1 可知V · ＜ － x ( T εPDDT P + 1 ε ET E + Q + KT ＲK x) ． 故 ∫ ∞ 0 V · dt = V( ∞ ) － V( x0 ) ≤ ∫ ∞ 0 － xT ( t) ( εPDDT P + 1 ε ET E + Q + KT ＲK) x( t) dt ( 11) 再由定义( 1) 可知 V( ∞ ) = 0． 因此 J≤E( V( x0 ) ) = E( xT 0Px0 ) = tr( P) ( 12) 证闭． 定理 2 对于不确定性系统( 1) 和性能指标 ( 2) ，若存在线性反馈( 4) ，使得任意非结构不确定 性 ΔA 和 ΔB 均有 ∑ lA i = 1 k 2 Aiσ2 max ( ΔA) + ∑ lB i = 1 k 2 Biσ2 max ( ΔB) ＜ σmin ( － ε 2 ( AT P + PA + Q + KT ＲK + εP2 ) ) ( 13) 则不确定闭环系统( 5) 是鲁棒保性能的，式( 13) 为 保性能控制鲁棒界． 其中，ε ＞ 0 为待定常数，A = A0 － B0K，σmax ( X) 和 σmin ( X) 分别为矩阵 X 的最大 和最小奇异值，P ＞ 0 为保性能矩阵． 证明 由定义 2 可得 ( ΔA － ΔBK) T + ( ΔA － ΔBK) ＜ － ( AT P + PA + Q + KT ＲK) ( 14) 因为对任意实矩阵 X 和 Y 以及任意常数 ε ＞ 0，有不 等式 XT Y + YT X≤ 1 ε XT X + εYT Y ( 15) 故 ( ΔA － ΔBK) T P + P( ΔA － ΔBK) ＜ 1 ε ( ΔA － ΔBK) T ( ΔA － ΔBK) + εP2 ( 16) 又因为 ΔAT ΔA + ( ΔBK) T ( ΔBK) ＜ － ε 2 ( AT P + PA + Q + KT ＲK + εP2 ) ( 17) 根据 Hermite 矩阵性质，式( 17) 成立当且仅当 λ( M) = λ( ΔAT ΔA + ( ΔBK) T ( ΔBK) + ε 2 ( AT P + PA + Q + KT ＲK + εP2 ) ) ＜ 0 ( 18) 又由于 λ( M) ≤λmax ( ΔAT ΔA) + λmax［( Δ BK) T ( ΔBK) ］+ λmax ( ε 2 ( AT P + PA + Q + KT ＲK + εP2 ) ) ≤ σ2 max ( ΔA) + σ2 max ( ΔBK) － λmin ( － ε 2 ( AT P + PA + Q + KT ＲK + εP2 ) ) ( 19) 再由式( 17) 可得 － ε 2 ( AT P + PA + Q + KT ＲK + εP2 ) ＞ 0 ( 20) 所以 λmin ( － ε 2 ( AT P + PA + Q + KT ＲK + εP2 ) ) = σmin ( － ε 2 ( AT P + PA + Q + KT ＲK + εP2 ) ) ( 21) 假设不确定矩阵为 ΔA = ∑ lA i = 1 kAiAi，ΔB = ∑ lB i = 1 kBiBi， 因此，由式( 17) 到( 21) 即可证明该定理． 由此可知，要使得鲁棒保性能控制获得最大的 鲁棒界，即等价于要使得 σmin ( － ε 2 ( AT P + PA + Q + KT ＲK + εP2 ) ) ( 22) 获得最大值． 2 改进人工鱼群优化鲁棒保性能权值矩阵 的提出 2. 1 改进人工鱼群算法 2. 1. 1 自适应视野与步长的人工鱼群算法 人工鱼群算法是一种通过构造人工鱼，模仿鱼 群生存方式中的觅食、聚群、追尾等主要行为，从而 解决实际优化问题的一种算法． 其思路是针对每个 人工鱼个体实现局部寻优，然后不断迭代更新，最终 · 205 ·