李腾辉等：混沌人工鱼群的鲁棒保性能控制权值矩阵优化方法 ·501· 此都具有一定保守性：鲁棒保性能控制都必须先确 如果存在一个状态反馈 定权值矩阵的值.权值矩阵的选取对系统的结果有 u(=-Kx(t) (4) 很大的影响，但是现有的方法大都通过经验来确定 使得对应的不确定性闭环系统 权值矩阵的值，没有一种固定选取准则.保性能控 E=[A。+△A)+(B。+△B)K]x(t) (5) 制鲁棒界是保性能意义下系统不确定性的最大允许 鲁棒稳定，则系统(1)是鲁棒可稳定的 范围可，是衡量鲁棒保性能控制保守性的关键指 定义2对线性不确定系统(1)和性能指标 标，因此提出了一种以保性能控制鲁棒界为目标函 (2),存在一个线性状态反馈器(3)和正数了，使得 数的权值矩阵优化算法，为权值矩阵的选取提供一 闭环系统(5)满足以下两个条件： 种方法 (1)闭环系统鲁棒稳定： 人工鱼群优化算法具有鲁棒性强、全局收敛性 (2)闭环系统相对应的性能指标(2)具有上界 好和对初始值敏感性小的的优点，但是也存在后期 丁，满足J≤J. 收敛速度慢和易陷入局部最优的不足-，结合混 则称闭环不确定系统(5)是鲁棒保性能的，式(4)为 沌搜索跳出局部极值能力强的特点，提出混 系统(1)的保性能控制，了为系统(1)的一个性能 沌一自适应人工鱼群优化权值矩阵的方法 上界 1 保性能控制鲁棒界 引理1)对不确定性线性系统(1)和性能指 标(2)，存在一个线性状态反馈器(3)，使得不确定 鲁棒保性能控制是指在保证不确定系统闭环稳 性闭环系统（⑤）鲁棒保性能控制的充分必要条件是 定的前提下，还能保证其性能指标不超过某一确定 存在常数E>0,使得Ricatti不等式： 的上界.但是往往很难平衡鲁棒稳定和鲁棒性能之 间的关系.在不确定范数有界的假设条件下得到的 ATP+PA+6PDDTP+LEE+0+KRK<0 结论往往过于保守.因此为得到不确定性与鲁棒保 (6) 性能控制之间的关系，文献7]给出了保性能控制 有正定解P>0,其中A=A。-BK,E=E,-E2K 鲁棒界的概念，即保性能意义下系统不确定性的最 鲁棒保性能闭环控制系统的性能指标J≤r(P). 大允许范围. 引理2m Schur补：对给定的对称矩阵S= 1.1系统描述及预备知识 511 S121 考虑如下不确定线性系统 ST= ,其中S:∈R".以下三个条件是 x=(A。+△A)x(t)+(B。+△B)u(t),x(O)=xo 等价的： (1) (1)S<0;(2),<0,S2-S2SS2<0:(3) 式中，x(t)∈R”为系统的状态，u(t)∈Rm为系统的 S2<0,S1-S12SzS<0. 控制输入，A。和B。为已知常阵，△A和△B为具有 1.2主要结果及证明 适当维数的不确定性时变实矩阵.考虑如下形式的 定理1对线性不确定系统(1)和性能指标 性能指标 (2),若存在线性状态反馈控制器(4)，使得不确定 J=E()x()+(Ru()d} 闭环系统（⑤）鲁棒保性能的充分必要条件是存在适 (2) 当的正定对称矩阵X>0,矩阵Y,以及常数ε>0，使 式中，Q与R即为待优化的权值矩阵，且Q>0,R> 得下面线性矩阵不等式成立 0. D XET-YET X 定义1对不确定性系统(1)，其自治系统为 0 0 0 (u(t)=0) -81 0 0 <0 x=(A+△A)x(t) (3) -Q1 0 如果能够构造一个该自治系统的状态变量 -R-1 x(t)的函数V(x(t))=xr(t)Px(t),其中P=pr> (7) 0,且对于任意允许的系统不确定性△4，以及所有的非 式中，Ⅱ=AX+XA。-B。Y-YB,I表示相应维数 零的状态变量满足以下两个条件：(1)V(x(t))>0: 的单位矩阵，*代表矩阵中相对应项的转置.则鲁 (2)V(x(t))>0,则称系统(1)是鲁棒稳定的. 棒保性能控制系统的性能指标J≤r(P).状态反馈李腾辉等: 混沌人工鱼群的鲁棒保性能控制权值矩阵优化方法 此都具有一定保守性; 鲁棒保性能控制都必须先确 定权值矩阵的值． 权值矩阵的选取对系统的结果有 很大的影响，但是现有的方法大都通过经验来确定 权值矩阵的值，没有一种固定选取准则． 保性能控 制鲁棒界是保性能意义下系统不确定性的最大允许 范围［7］，是衡量鲁棒保性能控制保守性的关键指 标，因此提出了一种以保性能控制鲁棒界为目标函 数的权值矩阵优化算法，为权值矩阵的选取提供一 种方法． 人工鱼群优化算法具有鲁棒性强、全局收敛性 好和对初始值敏感性小的的优点，但是也存在后期 收敛速度慢和易陷入局部最优的不足［8--12］，结合混 沌搜索跳出局部极值能力强的特点［13--15］，提出混 沌--自适应人工鱼群优化权值矩阵的方法． 1 保性能控制鲁棒界 鲁棒保性能控制是指在保证不确定系统闭环稳 定的前提下，还能保证其性能指标不超过某一确定 的上界． 但是往往很难平衡鲁棒稳定和鲁棒性能之 间的关系． 在不确定范数有界的假设条件下得到的 结论往往过于保守． 因此为得到不确定性与鲁棒保 性能控制之间的关系，文献［7］给出了保性能控制 鲁棒界的概念，即保性能意义下系统不确定性的最 大允许范围． 1. 1 系统描述及预备知识 考虑如下不确定线性系统 x · = ( A0 + ΔA) x( t) + ( B0 + ΔB) u( t) ，x( 0) = x0 ( 1) 式中，x( t) ∈Ｒn 为系统的状态，u( t) ∈Ｒm 为系统的 控制输入，A0 和 B0 为已知常阵，ΔA 和 ΔB 为具有 适当维数的不确定性时变实矩阵． 考虑如下形式的 性能指标 J = E { ∫ ∞ 0 ( xT ( t) Qx( t) + uT ( t) Ｒu( t) ) dt } ( 2) 式中，Q 与 Ｒ 即为待优化的权值矩阵，且 Q ＞ 0，Ｒ ＞ 0． 定义 1 对不确定性系统( 1) ，其自治系统为 ( u( t) ≡0) x · = ( A0 + ΔA) x( t) ( 3) 如果能够构造一个该自治系统的状态变量 x( t) 的函数 V( x( t) ) = xT ( t) Px( t) ，其中 P = PT ＞ 0，且对于任意允许的系统不确定性 ΔA，以及所有的非 零的状态变量满足以下两个条件: ( 1) V( x( t) ) ＞ 0; ( 2) V · ( x( t) ) ＞ 0，则称系统( 1) 是鲁棒稳定的． 如果存在一个状态反馈 u( t) = － Kx( t) ( 4) 使得对应的不确定性闭环系统 x · = ［( A0 + ΔA) + ( B0 + ΔB) K］x( t) ( 5) 鲁棒稳定，则系统( 1) 是鲁棒可稳定的． 定义 2 对线性不确定系统( 1) 和性能指标 ( 2) ，存在一个线性状态反馈器( 3) 和正数 J* ，使得 闭环系统( 5) 满足以下两个条件: ( 1) 闭环系统鲁棒稳定; ( 2) 闭环系统相对应的性能指标( 2) 具有上界 J* ，满足 J≤J* ． 则称闭环不确定系统( 5) 是鲁棒保性能的，式( 4) 为 系统( 1) 的保性能控制，J* 为系统( 1) 的一个性能 上界． 引理 1 ［7］ 对不确定性线性系统( 1) 和性能指 标( 2) ，存在一个线性状态反馈器( 3) ，使得不确定 性闭环系统( 5) 鲁棒保性能控制的充分必要条件是 存在常数 ε ＞ 0，使得 Ｒicatti 不等式: AT P + PA + εPDDT P + 1 ε ET E + Q + KT ＲK ＜ 0 ( 6) 有正定解 P ＞ 0，其中 A = A0 － B0K，E = E1 － E2K． 鲁棒保性能闭环控制系统的性能指标 J≤tr( P) ． 引理 2 ［7］ Schur 补: 对给定的对称矩阵 S = ST = S11 S12 * S [ ] 22 ，其中 S11 ∈Ｒr × r ． 以下三个条件是 等价的: ( 1) S ＜ 0; ( 2) S11 ＜ 0，S22 － ST 12 S － 1 11 S12 ＜ 0; ( 3) S22 ＜ 0，S11 － S12S － 1 22 ST 12 ＜ 0． 1. 2 主要结果及证明 定理 1 对线性不确定系统( 1) 和性能指标 ( 2) ，若存在线性状态反馈控制器( 4) ，使得不确定 闭环系统( 5) 鲁棒保性能的充分必要条件是存在适 当的正定对称矩阵 X ＞ 0，矩阵 Y，以及常数 ε ＞ 0，使 得下面线性矩阵不等式成立 Π D XET 1 － YT ET 2 X YT * － ε － 1 I 0 0 0 ＊ ＊ － εI 0 0 ＊ ＊ ＊ － Q － 1 0 ＊ ＊ ＊ ＊ － Ｒ                 － 1 ＜ 0 ( 7) 式中，Π = A0X + XAT 0 － B0Y － YT BT 0，I 表示相应维数 的单位矩阵，* 代表矩阵中相对应项的转置． 则鲁 棒保性能控制系统的性能指标 J≤tr( P) ． 状态反馈 · 105 ·