(1)(Abe判别法)∫(x)收敛,g(x)在[u,b)上单调有界 2 Dirichlet判别法)F(m)=广(x)在(b-上有界,g(x)在 [a,b)上单调且limg(x)=0 证(1)设g(x)G,因为∫”f(x)k收敛,由 Cauchy收敛原理, vE>0,3δ>0,VA,A∈(b-6,b):f(x)dx<。 由积分第二中值定理, f(x)g(x)g(4A)Jf(x)dk+g(m)f(x)k ≤Gf(x) f(x)d (2)设F(m)M,于是vA,A∈nb),有f(x)<2M。因为 imng(x)=0,Vs>0,36>0,x∈(b-6,b),有g(x)<5。由积分第 中值定理 (x)(x)g(0x+g:(x) 2Mg(A)+2M|g(A^)<+ E 所以无论哪个判别法条件满足,由 Cauchy收敛原理,都有 ∫。f(x(x)t收敛的结论。 7.讨论下列非负函数反常积分的敛散性 d x d x x2(1-x) (4)J I-cos x cos-x SIn- x 5).lInxipdx (6)JxP(1-x)9 解(1)因为 (x→0+), (1-x)3 285⑴（Abel 判别法） f x dx收敛， 在[ , 上单调有界； a b ( ) ∫ g x( ) a b) ⑵（Dirichlet 判别法） ∫ 在 − = η η b a F( ) f (x)dx (0,b − a]上有界，g x 在 上单调且 ( ) [ , a b) lim ( ) = 0 → − g x x b 。 证 （1）设| g(x) |≤ G ，因为 a f x dx 收敛，由 Cauchy 收敛原理， b ( ) ∫ ∀ε > 0，∃δ > 0，∀A, A′∈ (b − δ ,b)： G f x dx A A 2 ( ) ε < ∫ ′ 。 由积分第二中值定理， ∫ A′ A f (x)g(x)dx ∫ ∫ ′ ≤ ⋅ + ′ ⋅ A A g A f x dx g A f x dx ξ ξ ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ ′ ≤ + A A G f x dx G f x dx ξ ξ ( ) ( ) ε ε ε < + = 2 2 。 （2）设| F(η) |≤ M ，于是∀A, A′∈[a,b)，有 f x dx M A A ( ) < 2 ∫ ′ 。因为 lim ( ) = 0， → − g x x b ∀ε > 0，∃δ > 0，∀x ∈ (b − δ ,b)，有 M g x 4 ( ) ε < 。由积分第 二中值定理， ∫ A′ A f (x)g(x)dx ∫ ∫ ′ ≤ ⋅ + ′ ⋅ A A g A f x dx g A f x dx ξ ξ ( ) ( ) ( ) ( ) ≤ 2M| g(A)|+2M | g(A′)| ε ε ε < + = 2 2 。 所以无论哪个判别法条件满足，由 Cauchy 收敛原理，都有 ∫ 收敛的结论。 +∞ a f (x)g(x)dx ⒎ 讨论下列非负函数反常积分的敛散性： ⑴ 1 1 0 3 2 1 x x dx ( ) − ∫ ; ⑵ ln x x dx 0 2 1 −1 ∫ ; ⑶ 1 0 2 2 2 cos x sin x dx π ∫ ; ⑷ 1 0 2 − ∫ cos x x dx p π ; ⑸ |ln x | dx p 0 1 ∫ ; ⑹ x x d p q − − ∫ − 1 1 0 1 ( ) 1 x ; ⑺ ∫ − − − 1 0 1 1 x (1 x) | ln x | dx p q . 解 （1）因为 3 2 (1 ) 1 x − x ～ 3 2 1 x (x → 0+) ， 3 2 (1 ) 1 x − x ～ 3 1 (1 ) 1 − x (x →1−)， 285