所以积分 vx(1-x女收敛。 (2)因为lim In ,且对任意0<δ<1,lin Inx 0,即当x>0 →0+ 充分小时,有<,所以积分工收敛 (3)因为 (x→--), cos xsin x cos xsin x 所以积分 dx发散。 oS-x SIn-x x22n2(x→0+),所以当p<3时积分[1-s5收 (4)因为1osx 敛,当P≥3时积分计0x发散。 (5)首先对任意的0<6<1与任意的p,有lim{x°|lnx]=0,即当x>0 充分小时,有x<8;且nx a-xy(x→1)所以当p>1时, 积分nax收敛,当p≤-1时,积分∫mx发散 (6)xp-1(1-x)q (x→0+),xP(-x) p)q(x→1-), 所 (1 以在p>0q>0时积分∫xp-(1-x)-收敛,在其余情况下积分 ∫xp(1-x)y-a发散。 (7)xp-1(1-x)9lnx|~ (1-0(x→1-),且 in[x2(xp-(1-x)9|lnx=0,即当x>0充分小时,有 (-xymx<,所以当p>0.q>-1时积分x2(-xymx 收敛,在其余情况下积分/x0-x)|hxdk发散所以积分 1 1 0 3 2 1 x x dx ( ) − ∫ 收敛。 （2）因为 1 ln lim 2 →1− x − x x 2 1 = ，且对任意0 < δ < 1， 0 1 ln lim 2 0 = → + x − x x x δ ，即当 充分小时，有 x > 0 δ x x x 1 1 ln 2 < − ，所以积分 ln x x dx 0 2 1 −1 ∫ 收敛。 （3）因为 x x 2 2 cos sin 1 ～ 2 1 x (x → 0+) ， x x 2 2 cos sin 1 ～ 2 ) 2 ( 1 − x π ) 2 ( → − π x ， 所以积分 1 0 2 2 2 cos x sin x dx π ∫ 发散。 （4）因为 p x 1− cos x ～ 2 2 1 p− x (x → 0+) ，所以当 p < 3时积分 1 0 2 − ∫ cos x x dx p π 收 敛，当 p ≥ 3时积分 1 0 2 − ∫ cos x x dx p π 发散。 （5）首先对任意的0 < δ < 1与任意的 ，有 ，即当 充分小时，有 p lim [ | ln | ] 0 0 = → + p x x x δ x > 0 δ x x p 1 ln < ；且 p ln x ～ p x − (1− ) 1 (x →1−)。所以当 时， 积分 收敛，当 p > −1 |ln x | dx p 0 1 ∫ p ≤ −1时，积分 0 |ln x | p dx 发散。 1 ∫ （6） x p−1 (1− x) q−1～ p x 1− 1 (x → 0+) ， x p−1 (1− x) q−1～ q x − − 1 (1 ) 1 (x →1−)，所 以在 p > 0, q > 0时积分∫0 x x p−1 − q−1 d 收敛，在其余情况下积分 1 ( ) 1 x x x dx p− q− ∫ − 1 1 0 1 ( ) 1 发散。 （7） x p−1 (1− x) q−1 | ln x |～ q x − (1− ) 1 (x →1−)，且 lim [ ( (1 ) | ln |)] 0 2 1 1 1 0 − = − − − → + x x x x p q p x ，即当 x > 0充分小时，有 2 1 1 1 1 (1 ) ln p p q x x x x − − − − < ，所以当 p > 0, q > −1时积分 收敛，在其余情况下积分 发散。 ∫ − − − 1 0 1 1 x (1 x) | ln x | dx p q ∫ − − − 1 0 1 1 x (1 x) | ln x | dx p q 286