8.讨论下列反常积分的敛散性 (1)/x1 dx(p,q∈R+);(2) dx In √x(x-1)2(x-2) In(1+x) arc tan x (4) dx (6)∫ dx (8 dx 解(1)J。mx=1mx-1nx+1x一 当p>0,g>0时积分a与积分显然收敛,且当 时, +(x-)-1-+ 1(p-q)x-12p-q x 即x-x不是反常积分,所以积分x-x收敛。 In (2)0-,d=0 dx x(x-1)2(x-2) x(x-1)2(x-2) x(x-1)2(x-2) dh x(x-1)2(x-2) 因为 1(x→>0+), (x→>1-), x-1)2(x-2) 所以积分 dx收敛 1)2(x-2) 287⒏ 讨论下列反常积分的敛散性： ⑴ x x x dx p q − − − ∫ 1 1 0 1 ln ( ); + p,q ∈ R ⑵ 1 1 2 0 3 2 x x x dx ( ) − − ( ) +∞ ∫ ; ⑶ ln(1 ) 0 +∞ + ∫ x x dx p ; ⑷ ∫ +∞ 0 arc tan dx x x p ; ⑸ ∫ / 2 0 π tan dx x x p ; ⑹ x d p x − − +∞ ∫ 1 0 e x ; ⑺ 1 0 x x dx p q + +∞ ∫ ; ⑻ ∫ +∞ 2 ln 1 dx x x p q . 解（1） x x x dx p q − − − ∫ 1 1 0 1 ln ∫ − = 2 1 0 1 ln dx x x p ∫ − − 2 1 0 1 ln dx x x q ∫ − − − + 1 2 1 1 1 ln dx x x x p q 。 当 p > 0 ， q > 0 时积分 ∫ − 2 1 0 1 ln dx x x p 与积分 ∫ − 2 1 0 1 ln dx x x q 显然收敛，且当 x →1−时， = − − − x x x p q ln 1 1 [( ) ] [( ) ] ln( ) 1 ( 1) 1 ( 1) 1 1 ( 1) 1 1 1 + − + − − − + − − − − x x x p q ～ p q x p q x = − − − − 1 ( )( 1) ， 即∫ − − 1 − 2 1 1 1 ln dx x x x p q 不是反常积分，所以积分 x x x dx p q − − − ∫ 1 1 0 1 ln 收敛。 （2） = − − ∫ +∞ 0 3 2 ( 1) ( 2) 1 dx x x x ∫ − − 1 0 3 2 ( 1) ( 2) 1 dx x x x ∫ − − + 2 1 3 2 ( 1) ( 2) 1 dx x x x ∫ +∞ − − + 2 3 2 ( 1) ( 2) 1 dx x x x 。 因为 3 2 ( 1) ( 2) 1 x x − x − ～ 3 3 1 1 2 1 x − ⋅ (x → 0+) ， 3 2 ( 1) ( 2) 1 x x − x − ～ 3 2 ( 1) 1 − − x (x →1−)， 所以积分∫ − − 1 0 3 2 ( 1) ( 2) 1 dx x x x 收敛； 287