*连续函数的一些性质证明与实数完备直接相关 结论223A,B,R=AUB,Va∈A,beB,a<b→3maxA,minB或maxA,3mtnB (戴德金分制，谢惠民P96) 证明思路由确界可推得成立 此定理亦与以上等价 迭代生成数列的性质（联系导数） 结论23压缩数列（柯西型压缩/收敛型压缩）必收敛（讲义6） 证明思路分别由柯西收敛准则与定义易得 结论24选代生成数列只能收敛于不动点（第一律，谢惠民P49) 证明思路令递推公式两边趋于无穷 结论25迭代函数与数列单调性联系（第二律，谢惠民P49) 证明思路过论一次/一次洪代下的函数 结论26迭代生成数列的蛛网工作法收敛规律（谢惠民P51) 证明思路由前两结论可推得 *若迭代函数连续，则只需相邻项之差极限为0便能收敛（谢惠民P156) 结论27牛顿切线法求根（讲义5，实际为导数部分内容） 证明思路利用上述分析证明 结论28A>0,x>0,+1=→1imxn=V万（谢惠民P53) 正明思路注意到：一-识由压缩数列可得给论，或由选代现律证明 定义10极限点、数列上下极限（教材P45) 补充上下极限具有对偶关系、亦有保号性 (讲义6、教材P47、P50) 结论29上、下极限为数列极限点（教材P46) 证明思路任意小邻域内可取数列中的点 结论30皿a=mak(教材P48) 证明思路分别说明大于等于、小于等于成立（注意取子列的方法证明有界等结论时可应 用) 结论31与上下极限相关的不等式（教材P49、P50) 证明思路由上个结论可以推得 以极值思想看待上下极限 结论321im(xrm+ax)=A,f(n+1)>fn),a>1,xn有界→mx= 证明思路不妨设A=0,对xn的任意极限点t,取出子列xkn,则x化)亦为子列.极限 点为-at,考虑xyrk》,极限点为a2t,若xn不收敛，当t为最大时，可证t>0,代入 条件可加强为fm)单射 若f(m)于n充分大时在正整数中存在反函数则只需正数a不为1（如f(n)=n+t) 结论33Vm,na+m≤a+am→m告=月（徽材P47、谢惠民P90)*连续函数的一些性质证明与实数完备直接相关 结论 22 ∃𝐴,𝐵, ℝ = 𝐴 ∪ 𝐵, ∀𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵, 𝑎 < 𝑏 ⇒ ∃𝑚𝑎𝑥𝐴, ∄𝑚𝑖𝑛𝐵或∄𝑚𝑎𝑥𝐴, ∃𝑚𝑖𝑛𝐵 （戴德金分割，谢惠民 P96） 证明思路 由确界可推得成立 *此定理亦与以上等价 迭代生成数列的性质（联系导数） 结论 23 压缩数列（柯西型压缩/收敛型压缩）必收敛（讲义 6） 证明思路 分别由柯西收敛准则与定义易得 结论 24 迭代生成数列只能收敛于不动点（第一律，谢惠民 P49） 证明思路 令递推公式两边趋于无穷 结论 25 迭代函数与数列单调性联系（第二律，谢惠民 P49） 证明思路 讨论一次/二次迭代下的函数 结论 26 迭代生成数列的蛛网工作法收敛规律（谢惠民 P51） 证明思路 由前两结论可推得 *若迭代函数连续，则只需相邻项之差极限为 0 便能收敛（谢惠民 P156） 结论 27 牛顿切线法求根（讲义 5，实际为导数部分内容） 证明思路 利用上述分析证明 结论 28 𝐴 > 0, 𝑥1 > 0, 𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 2+3𝐴 3𝑥𝑛 2+𝐴 ⇒ lim 𝑛→∞ 𝑥𝑛 = √𝐴（谢惠民 P53） 证明思路 注意到 𝑥𝑛+1 − √𝐴 = (𝑥𝑛−√𝐴) 3 3𝑥𝑛 2+𝐴 由压缩数列可得结论，或由迭代规律证明 定义 10 极限点、数列上下极限（教材 P45） 补充 上下极限具有对偶关系、亦有保号性（讲义 6、教材 P47、P50） 结论 29 上、下极限为数列极限点（教材 P46） 证明思路 任意小邻域内可取数列中的点 结论 30 lim 𝑛→∞ 𝑎𝑛 = lim 𝑛→∞ inf 𝑘≥𝑛 𝑎𝑘（教材 P48） 证明思路 分别说明大于等于、小于等于成立（注意取子列的方法，证明有界等结论时可应 用） 结论 31 与上下极限相关的不等式（教材 P49、P50） 证明思路 由上个结论可以推得 *以极值思想看待上下极限 结论 32 lim 𝑛→∞ (𝑥𝑓(𝑛) + 𝑎𝑥𝑛) = A, f(𝑛 + 1) > f(𝑛), a > 1, xn有界 ⇒ lim 𝑛→∞ 𝑥𝑛 = 𝐴 𝑎+1 证明思路 不妨设𝐴 = 0，对𝑥𝑛的任意极限点𝑡，取出子列𝑥𝑘𝑛，则𝑥𝑓(𝑘𝑛)亦为子列，极限 点为−𝑎𝑡，考虑𝑥𝑓(𝑓(𝑘𝑛))，极限点为𝑎 2 𝑡，若𝑥𝑛不收敛，当𝑡为最大时，可证𝑡 > 0，代入 知𝑥𝑓(𝑓(𝑘𝑛))的极限更大，矛盾 *注意有界性条件的运用（极限点存在最大值） *条件可加强为𝑓(𝑛)单射 *若𝑓(𝑛)于𝑛充分大时在正整数中存在反函数则只需正数 a 不为 1（如f(n) = n + t） 结论 33 ∀𝑚, n, 𝑎𝑛+𝑚 ≤ 𝑎𝑛 + 𝑎𝑚 ⇒ lim 𝑛→∞ 𝑎𝑛 𝑛 = inf 𝑛≥1 { 𝑎𝑛 𝑛 }（教材 P47、谢惠民 P90）