§103量子跃迁的微扰论 1.处理跃迁问题的微扰论方法 现在我们处理在H和时间有关时, Schrodinger方程的解法,即回答与量子跃迁有关的问题 量子跃迁是量子力学中的重要现象,它的意思是:由于外界的扰动或内部的相互作用,量子体系将 从一个能量本征态跳到(跃迁到)另一个能量本征态,同时放出或吸收一定的能量。例如原子、分子 原子核发射或吸收光子,原子核的放射性衰变,等等 我们只在与时间有关的微扰论的构架下来处理量子跃迁。它的基本方法如下 假设在H和时间有关时,体系的 Hamiltonian仍然可以分成两项之和 H(t=Ho+H(t) 其中Ho与时间无关,是未微扰的 Hamiltonian,而H'(1)是与时间有关的微扰。需要注意:对于跃迁问 题,我们总假设在t<0的时候微扰 Hamiltonian h(t)=0,所以此后我们只考察t≥0时体系状态随时 的演化。含时间的 Schrodinger方程现在变为(除时间外的其它变量不再写出) ibo=(B+o)0)(≥0) 设已知H0的能谱为{En},对应的本征函数系为{n},即有 ,=EnD 其中H,与时间无关,n代表标志本征态的全体量子数。我们早已知道:若H=0,则 Schrodinger 方程有定态解 p,() 并且定态解的线性组合也是方程的解,即 其中 Y。=Y 这种一般的()虽然不是能量本征态,但在它处于各个能量本征态的几率不随时间而改变(见§1.2)。 如果H≠0,我们仍然可以把平()展开为中n的线性组合,但是组合系数变得与时间有关了: 平()=∑an()e 把这个展开式代入方程中,利用φn的正交归一性,就可以得到an(1)满足的对时间的常微分方程组: nan=∑Hm(oe-a(0 其中 Hm(1)=9m H(%, dr =m IH' % m=(Em-en 为简单起见,我们假定初始条件是:体系在t=0时处于Ho的某个能量本征态中k(注意:在t<0的时 候并不存在微扰,所以这是一个合理的假设),这意味着 (t)= 注意:到这里为止我们并未做任何近似 但是一般地说,上面那个常微分方程组也很难解,所以要利用一下微扰论。把an(D)写成按H(1)的 幂次展开的形式 an()=aO()+a()+a2()+ 其中a)()和(的j次幂成正比,那么1 §10.3 量子跃迁的微扰论 1. 处理跃迁问题的微扰论方法 现在我们处理在 H ˆ 和时间有关时，Schrödinger 方程的解法，即回答与量子跃迁有关的问题。 量子跃迁是量子力学中的重要现象，它的意思是：由于外界的扰动或内部的相互作用，量子体系将 从一个能量本征态跳到（跃迁到）另一个能量本征态，同时放出或吸收一定的能量。例如原子、分子、 原子核发射或吸收光子，原子核的放射性衰变，等等。 我们只在与时间有关的微扰论的构架下来处理量子跃迁。它的基本方法如下。 假设在 H ˆ 和时间有关时，体系的 Hamiltonian 仍然可以分成两项之和： ( ) ˆ ˆ ( ) ˆ 0 H t = H + H t , 其中 0 H ˆ 与时间无关，是未微扰的 Hamiltonian，而 ( ) ˆ H  t 是与时间有关的微扰。需要注意：对于跃迁问 题，我们总假设在 t  0 的时候微扰 Hamiltonian H ˆ (t)  0 ，所以此后我们只考察 t  0 时体系状态随时 间的演化。含时间的 Schrödinger 方程现在变为（除时间外的其它变量不再写出） ( 0 ) ˆ ˆ i ( ) ( ). ( 0) H H t t t t   = +     设已知 0 H ˆ 的能谱为 { } En ，对应的本征函数系为 { } n ，即有 0 ˆ , H E   n n n = 其中 0 ˆ , H n 与时间无关， n 代表标志本征态的全体量子数。我们早已知道：若 ˆ H = 0 ，则 Schrödinger 方程有定态解 i / ( ) e , E t n n n t  −  = 并且定态解的线性组合也是方程的解，即 i / ( ) e , E t n n n n t a  −  =  其中 0 0 ( ) 0 ( , ). ( ) n n t a t  = =   =  这种一般的 ( )t 虽然不是能量本征态，但在它处于各个能量本征态的几率不随时间而改变（见§1.2）。 如果 ˆ H  0 ，我们仍然可以把 (t) 展开为 n 的线性组合，但是组合系数变得与时间有关了： ( ) ( ) e . i / n n E t n n t a t  −  =  把这个展开式代入方程中，利用 n 的正交归一性，就可以得到 a (t) n 满足的对时间的常微分方程组： i i ( )e ( ), mn m t mn n n da H t a t dt  =   其中 ˆ ( ) ( ) , H t H t d H mn m n m n          = =  1 ( ).  mn m n = − E E 为简单起见，我们假定初始条件是：体系在 t = 0 时处于 0 H ˆ 的某个能量本征态 k （注意：在 t  0 的时 候并不存在微扰，所以这是一个合理的假设），这意味着 0 ( ) n nk t a t  = = . 注意：到这里为止我们并未做任何近似。 但是一般地说，上面那个常微分方程组也很难解，所以要利用一下微扰论。把 a (t) n 写成按 ( ) ˆ H  t 的 幂次展开的形式： an (t) = an (0) (t) + an (1) (t) + an (2) (t) +, 其中 ( ) ( ) a t j n 和 ( ) ˆ H  t 的 j 次幂成正比，那么