∑Hm()emal(t),(=0,1,2,) a0()=an()-0= 这立刻给出了一级微扰修正满足的方程: ∑Hm()e"ma(t)=Hm()em 以下我们只关心m≠k的情形,那么准确到一级微扰,它们是(把m记为k): 0)=()e-d.(k≠6) 因而,从【=0开始到时刻t,体系从状态φ跃迁到的跃迁几率是: B→k(D)= 这个公式的适用条件是Bk(1)<1。我们发现,跃迁几率与微扰 Hamiltonian H'(1),初态波函数, 末态波函数叭,以及初态和末态的能量差Ek-E有关 如果H(t)随时间的变化是足够快地衰减的,那么跃迁几率P→k(1)在1→∞将趋近于一个有限的 值→k,即 Hk(Oek*dt 这时它就可以直接地称作是系统从状态小到状态的跃迁几率 2.简谐微扰和共振跃迁 比较特殊但是又特别有意义的是H'(1)为“简谐扰动”的情形,即 H(O=Fsin ot 其中F与时间无关,O>0是给定的,所以矩阵元Hm八()也有类似的时间依赖关系: Hmw()=Fm sin o,(Fm =dim F, dr =(mn F1,) 从前面的公式就得到 i(@+OK ) b-k囊 0-0kk 跃迁几率成为 FKk 4h e"(a+on)-1 e-(o-okk )r (o+ok2)I-1 e"(o-k ) IExxP(1-cos(o+0 cos(@-Ok)t 2cos at(cos ot-COSOkgt) )(c 我们只考虑时间间隔t足够长的情形,利用公式 1-cos kx lim =丌(x) 我们发现:在t充分大的时候,2 ( 1) ( ) i ( )e ( ), ( 0,1, 2, ) mn j m i t j mn n n da H t a t j dt  + = =   而 (0) 0 ( ) ( ) . n n nk t a t a t  = = = 这立刻给出了一级微扰修正满足的方程： (1) i i (0) i ( )e ( ) ( )e mn mk m t t mn n mk n da H t a t H t dt   = =    . 以下我们只关心 m  k 的情形，那么准确到一级微扰，它们是（把 m 记为 k ）： i 0 1 ( ) ( )e . ( ) i k k t t k k k k a t H t dt k k    →   =       . 因而，从 t = 0 开始到时刻 t ，体系从状态 k 跃迁到 k  的跃迁几率是： 2 2 i 2 0 1 ( ) ( ) ( )e . k k t t P t a t H t dt k k k k k k    → →    = =     这个公式的适用条件是 ( ) 1 P t k k →  。我们发现，跃迁几率与微扰 Hamiltonian ( ) ˆ H  t ，初态波函数 k ， 末态波函数 k  ，以及初态和末态的能量差 E E k k  − 有关。 如果 ( ) ˆ H  t 随时间的变化是足够快地衰减的，那么跃迁几率 ( ) P t k k →  在 t → 将趋近于一个有限的 值 Pk k →  ，即 2 i 2 0 1 ( )e . k k t P H t dt k k k k    →   =   这时它就可以直接地称作是系统从状态 k 到状态 k  的跃迁几率。 2. 简谐微扰和共振跃迁 比较特殊但是又特别有意义的是 ( ) ˆ H  t 为“简谐扰动”的情形，即 sin , ˆ ( ) ˆ H t = F t 其中 F ˆ 与时间无关，   0 是给定的，所以矩阵元 H (t) mn  也有类似的时间依赖关系： ( ) ˆ ( ) sin , H t F t F F d F mn mn mn m n m n         = = =  , 从前面的公式就得到 i i i i 0 0 1 1 ( ) sin e (e e )e i 2 k k k k t t t t t t k k k k k k a t F t dt F dt            − →    = = − −      i( ) i( ) i( ) i( ) 0 1 1 e 1 e 1 (e e ) 2 2i k k k k k k k k t t t t t k k mk k k k k F dt F                 + − − + − −        − − = − − = − +    + −    , 跃迁几率成为 2 2 i( ) i( ) 2 | | e 1 e 1 ( ) 4 k k k k t t k k k k k k k k F P t         + − −    →    − − = + + − 2 i( ) i( ) i( ) i( ) 2 | | e 1 e 1 e 1 e 1 4 k k k k k k k k t t t t k k k k k k k k k k F                 + − − − + −             − − − − = + +    + − + −    2 2 2 2 | | 1 cos( ) 1 cos( ) 2cos (cos cos ) 2 ( ) ( ) ( )( ) k k k k k k k k k k k k k k k k F t t t t t                          − + − − − = + +   + − − +   . 我们只考虑时间间隔 t 足够长的情形，利用公式 2 1 cos lim ( ) k kx x kx   →+ − = 我们发现：在 t 充分大的时候