∫=).U(x+)-f(=广m质-体 =nfax-n"fdx=f(b)-nfadx 因此,由 Fatou引理我们有 gr≤lim| g, dx=im(f(b)-n"fax)≤f(b)-f(a) (12) 这表明g是可积的因此g是几乎处处有限的于是∫几乎处处可导.由于∫'=gae.故 (12)表明(4)成立■ 若∫是定义在[a,b上的单调减少的实值函数,对一∫应用定理5的结论知道单调减 少的实值函数也是几乎处处可微的 下面的例子说明在定理5中,单调函数是几乎处处可导的这一结论,一般说来是不能 改进的 下面是关于单调函数的逐项求导定理 定理6( Fubini)设fn(n=1,2,…)是[a,b上的一列单调增加的函数,并且函数项级数 ∑f2(x)在[ab]上处处收敛于f(x)则成立 f(x)=∑/n(x),ae (13) 证明不妨设∫n(a)=0,n≥1.由于∫,fn(n≥1)都单调增加的,因此至多除去一个 零测度集E外,f’,f(n≥1)都存在.记Sn(x) f(x)对每个自然数n≥1,由于 Sn(x)-Sn-1(x)=fn(x)和f(x)-Sn(x)都是单调增加的函数,故它们的导数都是非负的 因此有 S1(s)≤sn(x)≤f(x),x∈E 因此在E上级数∑f"(x)处处收敛由于imsn(b)=f(b),故存在S(b)的子列sn(b) 使得f(b)-Sn(b)<一k,k≥1.因此对任意x∈[a,b,我们有 05∑(()-2(x)5>b)-sn(6)<22=1 这表明级数∑((x)-Sn(x)处处收敛注意这个级数的每一项f(x)-Sn(x)也是单调137 1 1 11 1 1 [ ( ) ( )] () . bb b b n n aa a a n ba a nn n ba a g dx n f x f x dx n fdx n fdx n n fdx n fdx f b n fdx + + ++ + = +− = − = − =− ∫∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ 因此, 由 Fatou 引理我们有 1 lim lim( ( ) ) ( ) ( ). bb a n n aa a n n gdx g dx f b n fdx f b f a + →∞ →∞ ∫∫ ∫ ≤ = − ≤− (12) 这表明 g 是可积的. 因此 g 是几乎处处有限的. 于是 f 几乎处处可导. 由于 f ′ = g a.e. 故 (12)表明(4)成立.■ 若 f 是定义在[a,b]上的单调减少的实值函数, 对 − f 应用定理 5 的结论知道单调减 少的实值函数也是几乎处处可微的. 下面的例子说明在定理 5 中, 单调函数是几乎处处可导的这一结论, 一般说来是不能 改进的. 下面是关于单调函数的逐项求导定理. 定理 6 (Fubini)设 f (n = 1, 2,") n 是[a,b]上的一列单调增加的函数, 并且函数项级数 ∑ ∞ =1 ( ) n n f x 在[a,b]上处处收敛于 f (x). 则成立 ( ) ( ), a.e.. 1 ∑ ∞ = ′ = ′ n n f x f x (13) 证明 不妨设 f (a) = 0, n ≥ 1. n 由于 f , f (n ≥ 1) n 都单调增加的, 因此至多除去一个 零测度集 E 外, f ′, f ′ (n ≥ 1) n 都存在. 记 1 ( ) ( ). n n i i sx fx = =∑ 对每个自然数 n ≥ 1, 由于 ( ) ( ) ( ) 1 s x s x f x n − n− = n 和 f (x) s (x) − n 都是单调增加的函数, 故它们的导数都是非负的. 因此有 ( ) ( ) ( ), . sn ′−1 s ≤ sn ′ x ≤ f ′ x x ∈ E 因此在 E 上级数 ∑ ∞ = ′ 1 ( ) n n f x 处处收敛. 由于 lim s (b) f (b), n n = →∞ 故存在 s (b) n 的子列 s (b) nk 使得 , 1. 2 1 f (b) − s (b) < k ≥ nk k 因此对任意 x ∈[a,b], 我们有 1. 2 1 0 ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) 1 1 1 ≤ ∑ − ≤ ∑ − < ∑ = ∞ = ∞ = ∞ = k k k n k f x sn x f b s b k k 这表明级数 ∑ ∞ = − 1 ( ( ) ( )) k n f x s x k 处处收敛. 注意这个级数的每一项 f (x) s (x) nk − 也是单调