可根据系统存在的不确定性不断进行跟踪误差的调整。韩等人22将一种基于U-K理论的轨迹跟踪控 制方法应用到六轴协作机器人上，使系统具有较好的稳定性。尹等人2在解决车辆横向和偏航运动 控制问题中使用了该方法，通过数值仿真结果验证了该方法的有效性。此外，董等人4将该方法应 用到柔性机器人控制中，通过理论分析与仿真结果，验证了该控制方法可以完成系统的轨迹跟踪控 制任务。然而该方法在自行车机器人领域的应用尚未涉及，论文利用该方法对自行车机器人侧向平 衡控制进行研究，具有一定的理论意义和应用价值。 综上所述，本文基于U-K理论，针对自行车机器人侧向自平衡问题，提出了一种满足系统平衡 要求的主动控制方法。相比于传统的反馈控制方法，该方法从一个新的角度来解决自行车机器人的 平衡控制问题，克服了初始偏差的干扰，实现了不同初始横滚角速度下自行车机器人的侧向平衡约 束跟随控制，并借助MATLAB软件对该控制方法进行了数值仿真，验证了该系统的稳定性和有效 性，可实现自行车机器人系统的侧向自平衡控制。 l.Udwadia-Kalaba方程 Udwadia-Kalaba方程是一类用于描述受约束系统动力学问题的方程。 考虑一个机械系统包含n 个质点，整个系统在任意时刻1的位形可由广义坐标向量q∈R”表示资统的义速度向量为 g∈R”,广义加速度向量为R”。无约束条件下，机械系统的运动方程可以表述为： M(g,t)=F(q,q,t) (1) 其中，M(q,t)=M(q,t)∈R"为质量矩阵（或惯性矩阵y F(©，，t)∈R”包括重力、外力和离心 力/科式力网。 如果该机械系统受到一组约束（完整约束或非完整约束）/，约束方程为： ∑4(q,09.=c,(g,2,0 (2) 其中，lI<n)是约束的个数：A():R”×RR和c~):R”×R→R是C连续的。该约束可以用 矩阵形式表示为： Aq,1)9=Cq,1) (3) 其中，A(q,t)=[An]xm’c(q,t)=[GC2…C]。通过对式(3)微分，可以得到该约束的二阶形 式： ∑ +∑（4.(g,09,= (4) 其中， dag,)s♪。 A( A (q.t) 8qk 8t (5) 录 C(q.1)=(90oak* c,(q,1) dt Ot (6) c@.-2会4g% 6(g,)= (7) 则， ∑A(q,0i=b,(g,4,）=1,2,…0 (8) 将上式用矩阵形式表示为： Aq,1)9=b(q,9,t) (9) 其中，b(q,)=[bb,…b,]。假定机械系统处于理想情况下，则做出以下假设： 假设1：对于任意(g,t)eR”×R,系统惯性矩阵M~(g,t)>0。可根据系统存在的不确定性不断进行跟踪误差的调整。韩等人[22]将一种基于 U-K 理论的轨迹跟踪控 制方法应用到六轴协作机器人上，使系统具有较好的稳定性。尹等人[23]在解决车辆横向和偏航运动 控制问题中使用了该方法，通过数值仿真结果验证了该方法的有效性。此外，董等人[24]将该方法应 用到柔性机器人控制中，通过理论分析与仿真结果，验证了该控制方法可以完成系统的轨迹跟踪控 制任务。然而该方法在自行车机器人领域的应用尚未涉及，论文利用该方法对自行车机器人侧向平 衡控制进行研究，具有一定的理论意义和应用价值。 综上所述，本文基于 U-K 理论，针对自行车机器人侧向自平衡问题，提出了一种满足系统平衡 要求的主动控制方法。相比于传统的反馈控制方法，该方法从一个新的角度来解决自行车机器人的 平衡控制问题，克服了初始偏差的干扰，实现了不同初始横滚角速度下自行车机器人的侧向平衡约 束跟随控制，并借助 MATLAB 软件对该控制方法进行了数值仿真，验证了该系统的稳定性和有效 性，可实现自行车机器人系统的侧向自平衡控制。 1. Udwadia-Kalaba 方程 Udwadia-Kalaba 方程是一类用于描述受约束系统动力学问题的方程。考虑一个机械系统包含 n 个质点，整个系统在任意时刻 t 的位形可由广义坐标向量  n q R 表示，系统的广义速度向量为 n q  R ，广义加速度向量为 n qR 。无约束条件下，机械系统的运动方程可以表述为： M q t q F q q t ( , ) ( , , )    (1) 其中， ( , ) ( , ) T n n M q t M q t    R 为质量矩阵（或惯性矩阵）； ( , , ) n F q q t   R 包括重力、外力和离心 力/科式力[25]。 如果该机械系统受到一组约束（完整约束或非完整约束），约束方程为： 1 ( , ) ( , ) ( 1,2, , ) n rs s r s A q t q c q t r l       (2) 其中，l l n ( )  是约束的个数； ( ) : n Ars  R R R   和 ( ) : n r c  R R R   是 1 C 连续的。该约束可以用 矩阵形式表示为： A q t q c q t ( , ) ( , )   (3) 其中， 1 2 ( , ) [ ] ( , ) [ ]T A q t A c q t c c c rs l n l    ，  。通过对式（3）微分，可以得到该约束的二阶形 式： 1 1 ( ( , )) ( ( , )) ( , ) n n rs s rs s r s s d d A q t q A q t q c q t dt dt         (4) 其中， 1 ( , ) ( , ) ( , ) n rs rs rs k k k d A q t A q t A q t q dt q t           (5) 1 ( , ) ( , ) ( , ) n r r r k k k d c q t c q t c q t q dt q t           (6) 令 1 ( , ) ( , ) ( ( , )) n r r rs s s d d b q t c q t A q t q dt dt     (7) 则， 1 ( , ) ( , , ) ( 1,2, , ) n rs s r s A q t q b q q t r l        (8) 将上式用矩阵形式表示为： A q t q b q q t ( , ) ( , , )    (9) 其中， 1 2 ( , ) [ ]T l b q t b b b   。假定机械系统处于理想情况下，则做出以下假设： 假设 1：对于任意( , ) n q t   R R ，系统惯性矩阵 1 M q t ( , ) 0   。 录用稿件，非最终出版稿