假设2：对于所有(g,q,t)∈R”×R,rank[A(q,t]≥1。 假设3：约束方程是相容的，对于任意A(q,)和b(9,q,),至少存在一个9满足约束方程。 定理1：满足假设1至假设3，受约束的机械系统运动方程，即Udwadia-Kalaba方程7： M(g,t)i=F(9,q,t)+F.(g,9,) =F(g,9,)+Mq,)(4Aq,)M(q,t)-2)* (10) (b(gg,1)-A(g,1)M(g,1)F(qq,1)) 其中，(4(g,)M(g,)2)为A(g,)M(g,)的逆矩阵。 当系统受到一个伺服约束，且不存在初始偏差和不确定性时，控制器可以基于模型设计为 π=F(⑨，q,),可使系统满足约束方程(9)，实现控制要求。对于欠驱动系统，其独立的控制输入 变量个数少于系统的自由度个数，因此，常用于全驱动机器人的控制方法通常难以直接应用到自行 车机器人控制系统中，则控制器可以基于模型架构成B(q,t)π形式，来实现系统的控制要求。其中 B(q,t)eRm为系统的输入矩阵，x∈R1为系统的控制扭矩，且n>m火 2.自行车机器人动力学童横和控制 2.1机器人动力学横型 自行车机器人结构简图如图1所示。O-YZ代表全局惯性参考坐标系，其中O为后轮与地面 接触点，OX是机器人行走方向，OZ是垂直地面向上的方向，为横滚角（机器人相对于垂直面 的倾斜角度)，日1为角动量轮旋转角度，整个机器人的质必用点表示，m,和m2分别表示机器人 (包括前后轮)和角动量轮的质量，L和L2分别表示从地面到机器人质心和角动量轮质心的距离， 除角动量轮外的机器人绕X轴的转动惯量为11，角动绳轮的转动惯量为I2,8表示重力加速度。 稿代 图1自行车机器人结构简图 ig.1 Bicycle robot structure simplified diagram 利用欧拉-拉格朗方程建立机器人的无约束动力学模型)： Ψ=T-U (11) daΨ aΨ =Q(i=1,2) (12) 其中，T为系统动能：U为系统势能：Q为系统所受外力。取0、日，为广义坐标9，、q2。 系统的运动可分为两部分：平动和转动。对于平动运动，自行车机器人质心和角动量轮质心的 速度分别为： v=Lecose,v.=Lesine (13) vy2 =Le cose,v.2=L0sine (14) 其中，V为自行车机器人Y方向的线速度：v为自行车机器人Z方向的线速度：V2为角动量轮 Y方向的线速度：v2为角动量轮Z方向的线速度。假设 2：对于所有( , , ) n q q t    R R ， rank[ ( , )] 1 A q t  。 假设 3：约束方程是相容的，对于任意 A q t ( , ) 和b q q t ( , , )  ，至少存在一个 q 满足约束方程。 定理 1：满足假设 1 至假设 3，受约束的机械系统运动方程，即 Udwadia-Kalaba 方程[17]： 1/2 1/2 1 ( , ) ( , , ) ( , , ) = ( , , ) ( , ) ( ( , ) ( , ) ) ( ( , , ) ( , ) ( , ) ( , , )) M q t q F q q t F q q t c F q q t M q t A q t M q t b q q t A q t M q t F q q t              (10) 其中， 1/2 ( ( , ) ( , ) ) A q t M q t   为 1/2 A q t M q t ( , ) ( , ) 的逆矩阵[26]。 当系统受到一个伺服约束，且不存在初始偏差和不确定性时，控制器可以基于模型设计为 ( , , ) F q q t c    ，可使系统满足约束方程（9），实现控制要求。对于欠驱动系统，其独立的控制输入 变量个数少于系统的自由度个数，因此，常用于全驱动机器人的控制方法通常难以直接应用到自行 车机器人控制系统中，则控制器可以基于模型架构成 B q t ( , ) 形式，来实现系统的控制要求。其中 ( , ) n m B q t   R 为系统的输入矩阵， m 1    R 为系统的控制扭矩，且 n m [24]。 2.自行车机器人动力学建模和控制 2.1 机器人动力学模型 自行车机器人结构简图如图 1 所示。O XYZ  代表全局惯性参考坐标系，其中O 为后轮与地面 接触点，OX 是机器人行走方向， OZ 是垂直地面向上的方向， 为横滚角（机器人相对于垂直面 的倾斜角度）， 1  为角动量轮旋转角度，整个机器人的质心用点 P 表示， m1 和 m2 分别表示机器人 （包括前后轮）和角动量轮的质量， L1和 L2 分别表示从地面到机器人质心和角动量轮质心的距离， 除角动量轮外的机器人绕 X 轴的转动惯量为 1 I ，角动量轮的转动惯量为 2 I ， g 表示重力加速度。 P  1 X Y Z O L1 L2 图 1 自行车机器人结构简图 Fig.1 Bicycle robot structure simplified diagram 利用欧拉-拉格朗日方程建立机器人的无约束动力学模型[27]：    T U (11) ( 1, 2) i i i d Q i dt q q               (12) 其中，T 为系统动能；U 为系统势能；Qi为系统所受外力。取 、 1  为广义坐标 q1、 2 q 。 系统的运动可分为两部分：平动和转动。对于平动运动，自行车机器人质心和角动量轮质心的 速度分别为: 1 1 1 1 cos , sin y z v L v L         (13) 2 2 2 2 cos , sin y z v L v L         (14) 其中， y1 v 为自行车机器人 Y 方向的线速度； z1 v 为自行车机器人 Z 方向的线速度； y2 v 为角动量轮 Y 方向的线速度； z 2 v 为角动量轮 Z 方向的线速度。 录用稿件，非最终出版稿