程为正则方程的意思 我们还可以从不同角度计算H的全微分(参阅教材241-243页),比较(2。1)(2。4) aL 式的系数,同样可得正则方程,并可得 aH ana:若拉格朗日函数还依赖某些参数例如 参数,L=L(q,9,1,),则H=H(Pq1,4)我们同样可以证明: ah a 【思考】由上式能否得到(+)=0?2(H+∠) aH aL 0?应如何理解 【思考】对于有非保守力的力学体系,正则方程为: aH +O 应如何推导? 【思考】对于有广义势的力学体系,上述推导应如何推广? 5.哈密顿量的显式和意义: H L L=T-VT=72+T+7W=(q,)(1) =272+71-(72+7+7-V) =72-To+1 此时H为广义能量。特别对于稳定系统,且以不显含时间的坐标变换引入广义坐标,则 T=72,T1=T=0,从而H为能量H=7+ (2) 注意:H=H(Pq,),右边诸式中q应按q=qn(P4)换为变量(Pq) 【思考】如果V=V(qq,1)是广义势,以上讨论应如何修改 6.前面我们是从拉格朗日方程导出正则方程的。能不能从正则方程导出拉氏方程呢?回答是肯 定的。事实上,利用正则方程可以得到 aq, aH op 分ca=∑9n+∑,my=P d aL aH p 从而得到拉格朗日方程。也就是说,正则方程与拉氏方程是等价的,但与拉格朗日方程相比较,正 则方程有其优点:其解不但有广义坐标表达式,而且有共轭动量表达式,内容比较丰富:一阶方程 在有些情况下比较易解:方程形式对称比较易于研究:对正则方程的研究比较深入,已经有了一系 列解的方法 4.2.哈密顿正则方程的解和积分 正则方程是含有2s个未知函数Pa,qa的一阶方程组,其通解应为4 程为正则方程的意思。 我们还可以从不同角度计算 H 的全微分(参阅教材 241－243 页)，比较（2。1）（2。4） 式的系数，同样可得正则方程，并可得 t L t H   = −   ；若拉格朗日函数还依赖某些参数,例如 参数  ， L L q q t = ( , , ,) ，则 H H p q t = ( , , ,) 我们同样可以证明： H L     = −   【思考】由上式能否得到 ( + ) = 0   H L t ？ ( ) 0 H L   + =  ？应如何理解 H L     = −   ？ 【思考】对于有非保守力的力学体系，正则方程为： H p Q q     = − +  ， H q p    =  ， 应如何推导？ 【思考】对于有广义势的力学体系，上述推导应如何推广？ 5． 哈密顿量的显式和意义： ( ) 1 1 2 1 2 1 0 2 0 2 s s L H q L q T q L q T T T T T V T T V       = =  = −   = −  = + − + + − = − +   L T V = − T T T T = + + 2 1 0 V V q t = ( , ) （1） 此时 H 为广义能量。特别对于稳定系统，且以不显含时间的坐标变换引入广义坐标，则 2 1 0 T T T T = = = , 0 ， 从而 H 为能量 H = T +V （2） 注意： H H p q t = ( , , ) ，右边诸式中 q 应按 q q p q t   = ( , , ) 换为变量 ( p q, )。 【思考】如果 V V q q t = ( , , ) 是广义势，以上讨论应如何修改？ 6．前面我们是从拉格朗日方程导出正则方程的。能不能从正则方程导出拉氏方程呢？回答是肯 定的。事实上，利用正则方程可以得到： L L p q p q         =     ＝ q p H q p p p p q                  + − =          d L H L q p p dt q q q q               = = − = − −          q q L L L p q q q q q                  = − − − =              从而得到拉格朗日方程。也就是说，正则方程与拉氏方程是等价的，但与拉格朗日方程相比较，正 则方程有其优点：其解不但有广义坐标表达式，而且有共轭动量表达式，内容比较丰富；一阶方程 在有些情况下比较易解；方程形式对称比较易于研究；对正则方程的研究比较深入，已经有了一系 列解的方法。 4．2．哈密顿正则方程的解和积分 正则方程是含有 2s 个未知函数 p q,   的一阶方程组，其通解应为