定理1(Veierstrass聚点定理) 实轴上任一有界无限点集S至少有一个聚点. 证明 因S为有界点集，故妇M>0,使得sc[-M,M,记[a1,b]=[-M,M 现将a,b]等分为两个区间，因S为无限点集，故两个区间中至少 有一个含有S中无穷多个点，记此子区间为[a2,b2],则 [a.b,]-la2,b2l.E b-az=(b-a,)=M. 将a2,b2]等分成两个子区间，则其中至少有一个子区间含有S中 无穷多个点，记其为a,b],则 a,b1pa,bJ且Aaaa)-号 S ， M 0, S [-M,M], [a ,b ] [-M,M] 因 为有界点集 故  使得  记 1 1  定理1 (Weierstrass聚点定理) 实轴上任一有界无限点集 S至少有一个聚点. 证明 现将[a1 ,b1 ]等分为两个区间， 因S为无限点集， 故两个区间中至少 有一个含有S中无穷多个点， 记此子区间为 [a 2 ,b2 ],则 ( ) . 2 1 [a ,b ] [a ,b ], 1 1  2 2 且 b2  a2  b1  a1  M 将[a 2 ,b2 ]等分成两个子区间， 则其中至少有一个子区间含有S中 无穷多个点， 记其为[a3 ,b3 ],则 . 2 ( ) 2 1 [a ,b ] [a ,b ], 2 2 3 3 3 3 2 2 M  且 b  a  b  a 