偏微分方程定解 第3页 ∑表示边界上的变点,同时也表示这些点的坐标 单位时间内、通过单位面积的边界面流入的热量已知 在边界内侧截取一小薄层介质,一个底面在介质的表面 另一个底面在介质内部.柱体的两底面积相等,厚度趋于0 根据能量守恒定律可知,介质从两个底面及侧面流入的热量 之和,应该等于这一块介质温度升高所需要的热量.但是,当 介质的厚度趋于0时,通过侧面流入的热量应该趋于0(因为 侧面积趋于0),介质的热容量趋于0(因为介质的质量趋于 0),因此,通过介质表面流入的热量,应当全部通过薄层的另 底面流向介质内部.于是,可以写出边界条件 图14.2边界面处的热流连续 =Tl(E, t) 其中。称为法向微商,它是梯度矢量在外法线方向n上的投影 即 n·(Vu) ·边界绝热,则v≡0 an ★介质通过边界按 Newton冷却定律散热:单位时间通过单位面积表面和外界交换的热量与介 质表面温度叫x和外界温度u0之差成正比,设比例系数为H H 5-u0 或者写成 上面出现的边界条件有一个共同的特点:就未知函数而言,它们都是线性的.再进一步细分 还可以分为三类 ★第一类边界条件:给出边界上各点的函数值 ★第二类边界条件:给出边界上各点函数的法向微商值 ★第三类边界条件:给出边界上各点的函数值与法向微商值之问的线性关糸Wu Chong-shi ✿❀❁❂ (❃) ❄❅❆❇❈❉❊❋● × 3 Ø Σ t❍➞✈❞✣■✱✸❏♠❘t❍➝❑✱✣▲▼✳ F ◆❖↕P❻❙◗❘◆❖❙❚→➭➯❙❯❱→ ✰❲✽✾✳ ❥➞✈ q❳ ✞➍✭✟❨❩♣✰✸✭✷❬✉❥♣✰✣t✉✸ ❭ ✭✷❬✉❥♣✰ qr✳❪ ❳✣❏❬✉✁✇✎✸ ❫ ➷❴➼ 0 ✳ ✖✗✫✏❵❛✚✛➒❒✸ ❜❝❞❡❢❣ ❤✐❥ ❤❦❧♠ ♥♦ ♣q✸ rst✉✈✇①❜❝②③④ ⑤⑥⑦⑧♠ ♥♦✳ ⑨ P✸➋ ♣✰✣❫ ➷❴➼ 0 ♠✸❋❬❳ ✉⑩✤✣➬✏➾➚❴➼ 0 (◆✐ ❳ ✉✁❴➼ 0) ✸♣✰✣➬❶✏❴➼ 0 (◆✐♣✰✣✰✏❴➼ 0) ✸◆④✸❋❬♣✰t✉⑩✤✣➬✏✸➾➋✶r❋❬❨❩✣ ❭ ✭❬✉⑩ ❷♣✰ qr✳➼P✸➒➓❯✢➞✈❅❆ ∂u ∂n     Σ = 1 k ψ(Σ, t), ✒ 14.2 ❸❹❺❻❼❽❾❿➀ ❵ ❍ ∂ ∂n ➁ ✐✆ ❷✻❮✸➂P➃➷➄✏❥✾✆➅✧ ❷ n ❞✣➆➇✸ ∂ ∂n = n · ∇ ✥ ∂u ∂n = n · (∇u). • ➭➯➈ ✰ ✸❈ ψ ≡ 0 ✸ ∂u ∂n    Σ = 0. F ❹❺◗❘➭➯➉ Newton ➊➋ó➌➍✰ ç◆❖↕P◗❘◆❖❙❚➎❙➏ý➯➐➑→ ✰❲➒❹ ❺➎❙✻✼ u|Σ ➏ý➯✻✼ u0 ➓➔→➣↔ ✳↕ Ü❪✯▼✐ H ✸ −k ∂u ∂n     Σ = H ￾ u   Σ − u0
, ➙➛❯➜  ∂u ∂n + hu Σ = hu0. ❞✉✢✃✣➞✈❅❆❂✭✷➜❏✣➝✱ç❴❐❒❭▼❖➞✸➂➉➟P➅✭✣✳➠➡✭➢➤✼✸ ✿➒➓✼✐➥✹ç F ➦ ✇ ➧➨➩➫➭ç➯ ➲➨➩➳➵➸♠➺➻➼ F ➦➽ ➧➨➩➫➭ç➯ ➲➨➩➳➵➸➺➻♠➾ ➚➪➶➼ F ➦➹ ➧➨➩➫➭ç➯ ➲➨➩➳➵➸♠➺➻➼➘➾ ➚➪➶➼♣ ➴♠➷➬ ➮➱