运城学院应用数学系2017一2018学年第一学期期末考试抽象代数A 一、填空题（每空3分，共30分) 1、在群G中元素a和b满足条件 1)对任意的x∈G,有ax=xa=X: 2)存在y∈G,使b与yy。 则a、b的关系为a=b。 2、设0=(14736)是一个轮换，则σ的逆为(63741)。 3、设群G中元素a的阶为m,如果a=e,那么m与n间的关系为mn一。 4、已知群G中的元素a的阶等于30，则a的阶等于10。 5、群U0有4个生成元。 6、规定实数集R上的运算×为a×b=3ab(等号右边的运算是普通乘法)，则对于结 合率和交换率而言，这个运算满足结合率、交换率。 7、实数集G关于乘法：a·b=a+b+4是群，那么G中的单位元是4。 8、H是群G的正规子群，商群C%的单位元为H一。 9、设H是有限群G的子群，且G有左陪集分类{H,aH,bH,cH,dH。如果 H=6,那么G的阶为30。 l0、设a、b、c和x都是群G中的元素，且x2a=bxc,acx=xac,那么x= be"a-1 二、简答题（每小题10分，共40分) 11、设G是一个群，若对任意的a,b∈G,皆有(ab)2=ab2,证明G是交换群。 证明：对任意的a,b∈G,由(ab)2=ab得abab=aabb,两边同时左乘a',右乘 bl得a'ababb=a aabbb",即ba=ab,所以G是交换群。l0分 l2、群G的所有内自同构映射组成一个集合InnG,证明InnG是一个群。 证明：对任意的ta,t∈InnG,对任意的G中元素x有ta(x)=ta(t(X)=ta(bxb) =a(bxb")a=(ab)x(ab)=tab(x)。所以tab=Tab仍为G的一个内自同构。6分 易知te为恒等映射。 若ta∈InnG,则t。∈InnG,又由tt。=t.知道t,是ta的逆元。 所以nnG≤AutG,InnG是群。..4分 (123456, 123456,求g 设=214536325641正 .5分 。5分 14、设G是群，N是G的正规子群。证明：如果N及商群GN都是周期群，则 G也是周期群。运城学院应用数学系 2017—2018 学年第一学期期末考试抽象代数 A 一、填空题（每空 3 分，共 30 分） 1、在群 G 中元素 a 和 b 满足条件 1) 对任意的 x∈G，有 ax=xa=x； 2) 存在 y∈G，使 b=yy-1。 则 a、b 的关系为 a=b 。 2、设 σ=(1 4 7 3 6)是一个轮换，则 σ 的逆为 (6 3 7 4 1) 。 3、设群 G 中元素 a 的阶为 m，如果 a n =e，那么 m 与 n 间的关系为 mn 。 4、已知群 G 中的元素 a 的阶等于 30，则 a 9 的阶等于 10 。 5、群 U10 有 4 个生成元。 6、规定实数集 R 上的运算×为 a×b=3ab(等号右边的运算是普通乘法)，则对于结 合率和交换率而言，这个运算满足 结合率、交换率 。 7、实数集 G 关于乘法·：a · b = a + b + 4 是群，那么 G 中的单位元是 –4 。 8、H 是群 G 的正规子群，商群 G H 的单位元为 H 。 9、设 H 是有限群 G 的子群，且 G 有左陪集分类{H，aH，bH，cH，dH}。如果 |H| = 6，那么 G 的阶为 30 。 10、设 a、b、c 和 x 都是群 G 中的元素，且 x 2 a = bxc-1，acx = xac，那么 x = bc-1 a -1 。 二、简答题（每小题 10 分，共 40 分） 11、设 G 是一个群，若对任意的 a, b∈G，皆有(ab)2 = a 2 b 2，证明 G 是交换群。 证明：对任意的 a, b∈G，由(ab)2 = a 2 b 2 得 abab = aabb，两边同时左乘 a -1，右乘 b -1 得 a -1 ababb-1 = a-1 aabbb-1，即 ba = ab，所以 G 是交换群。......10 分 12、群 G 的所有内自同构映射组成一个集合 InnG，证明 InnG 是一个群。 证明：对任意的 τa，τb ∈ InnG，对任意的 G 中元素 x 有 τaτb(x) = τa(τb(x)) = τa(bxb-1 ) = a(bxb-1 )a-1 = (ab)x(ab)-1 = τab(x)。所以 τaτb = τab 仍为 G 的一个内自同构。......6 分 易知 τe为恒等映射。 若 τa ∈ InnG，则 1 a   ∈ InnG，又由 a e 1 a      知道 1 a   是 τa 的逆元。 所以 InnG ≤ AutG，InnG 是群。......4 分 13、设 1 2 3 4 5 6 2 1 4 5 3 6         ， 1 2 3 4 5 6 3 2 5 6 4 1         ，求 1    。 解： 1 1 2 3 4 5 6 2 1 5 3 4 6          ，......5 分 1 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 2 1 5 3 4 6 3 2 5 6 4 1 5 1 4 6 3 2                        。......5 分 14、设 G 是群，N 是 G 的正规子群。证明：如果 N 及商群 G/N 都是周期群，则 G 也是周期群