教案:闭区间上 Riemann积分的应用理论 考虑到R3中曲线的参数刻 F()[a,1bF(t)=y()∈R3 () 为此,我们在参数域[a,月上进行分割P:a=b0<…<1<1<…<Ix=B,由此获得在实 际曲线上的分割,如上图所示 对于分割点所截取的曲线弧长,我们仍无实际的计算方法,故考虑利用直线段进行“近 似:A=2F()=F()=(x()=x()2+(y()-y(2)2+()-=(-) 进一步,考虑部分和: ∑△L1=∑√(5)+y(m)+2()△ 上式获得,利用了 Lagrange中值定理,故需要引入条件: x()∈C[a,月],3()∈R,vt∈(a,B y()∈C[a,月],习(1)∈R,vt∈(,B),可记为F()∈C[a,月,产(t)∈R3,t∈(a,B (t)∈C[a,月,3()∈R,Mt∈(a,B) 以下考虑极限过程。按上述分析,在每一子区间上,5,1,5;∈(t1,1)取值各不相同, 这同原来的部分和选取有所不同。但我们仍可考虑极限 m∑△L==1∑√()+y(n)+:()△,5,,5:eL14 可按 Cauchy叙述, Heine叙述以及 Cauchy收敛原理认识,因为原有的分析都适用现有情形 结合上述部分和的实际结构,我们要求存在极限 的()=子(+0)+:0)aeR 故需要进一步引入条件:F()∈C[a,],()∈R[a,月],亦即各分量在[,月]存在一阶导 函数且 Riemann可积。现我们猜测: Claim:下述极限存在 ∑())+(-100+0m 分析 第3页共9页教案：闭区间上 Riemann 积分的应用理论 第 3 页 共 9 页 考虑到 3  中曲线的参数刻画             3 : , x t rt t rt yt z t                   为此，我们在参数域,  上进行分割 0 1 : P t tt t          ii N   ，由此获得在实 际曲线上的分割，如上图所示。 对于分割点所截取的曲线弧长，我们仍无实际的计算方法，故考虑利用直线段进行“近 似：    3                1 2 2 22 1 1 11 : L rt rt xt xt yt yt zt zt i ii ii i i ii                   。 进一步，考虑部分和：     222 1 1 N N i i i ii i i Lxyzt              ， 上式获得，利用了 Lagrange 中值定理，故需要引入条件：                       , , , , , , , , , , , , xt C xt t yt C yt t zt C zt t                                 ，可记为         3 rt C rt t     , , , ,       以下考虑极限过程。按上述分析，在每一子区间上， iii i i ,, ,  t t 1 取值各不相同， 这同原来的部分和选取有所不同。但我们仍可考虑极限：     222 0 0 1 1 lim lim N N i i i ii P P i i L xyzt                      ，   1 ,, , iii i i  t t    可按 Cauchy 叙述，Heine 叙述以及 Cauchy 收敛原理认识，因为原有的分析都适用现有情形。 结合上述部分和的实际结构，我们要求存在极限      3 2 22 r t dt x t y t z t dt                 故需要进一步引入条件：rt C rt R      , , ,         ，亦即各分量在,  存在一阶导 函数且 Riemann 可积。现我们猜测： Claim：下述极限存在        2 2 2 2 22 0 1 lim N i i ii P i x y z t x t y t z t dt                         分析：